數學中，特別是算子理論中，每個內積空間中的線性算子 A 都個有一個對應的伴隨算子（），記作 A^*，伴隨算子可由以下關係定義

: \langle Ax, y \rangle = \langle x, A^*y \rangle

其中 \langle \cdot, \cdot \rangle 是向量空間中的內積。

算子 A 的伴隨 A^* 亦可稱作埃尔米特伴随（），以夏尔·埃尔米特命名。在物理學，尤其是量子力學中，算子 A 的埃尔米特伴随常被記作 A^\dagger（狄拉克符号记法）。

有限維向量空間中算子可以以矩陣的形式表示，而伴隨算子的矩陣等於原矩陣的共軛轉置。

泛函分析中，上述對伴隨算子的定義可以直接套用於希尔伯特空间中的线性算子。

有界算子
假設H是一個希爾伯特空間，帶有內積
\langle\cdot,\cdot\rangle。考慮連續線性算子A: H\rightarrow H（這與有界算子相同）。

利用里斯表示定理，我們可以證明存在唯一的連續線性算子

A^* : H\rightarrow H具有如下性質：

: \lang Ax , y \rang = \lang x , A^* y \rang，对所有 x,y\in H。

這個算子A^*是A的伴隨。

這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣，在標準（復）內積下具有相似的性質。

性质
马上可得的性质

A^{**}=A

如A可逆，则A^也可逆，且(A^)^{-1}=(A^{-1})^*

(A+B)^=A^ + B^*

(\lambda A)^=\lambda ^ A^，这里\lambda^表示复数\lambda的复共轭

(AB)^=B^A^*

如果我们定义A的算子范数为
: \| A \| _{op} := \sup \{ \|Ax \| : \| x \| \le 1 \}
则
: \| A^* \| _{op} = \| A \| _{op} ,
而且有
: \| A^* A \| _{op} = \| A \| _{op}^2 。

希尔伯特空间H上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。

A的像与它的伴随的核的关系为

: \ker A^* = \left( \operatorname{im}\ A \right)^\bot ,
: \left( \ker A^* \right)^\bot = \overline{\operatorname{im}\ A} 。

第一个等式的证明：
:\begin{align}
A^* x = 0 &\iff
\langle A^*x,y \rangle = 0 \quad \forall y \in H \\ &\iff
\langle x,Ay \rangle = 0 \quad \forall y \in H \\ &\iff
x\ \bot \ \operatorname{im}\ A
\end{align}

第二个等式由第一个推出，于两边取正交空间即可。注意到一般地，像未必是闭的，但连续算子的核总是闭的。

埃尔米特算子
有界算子A: H\rightarrow H称为埃尔米特或自伴如果
: A=A^*
这等价于
: \lang Ax , y \rang = \lang x , A y \rang, \forall x,y\in H。

在某种意义下，这种算子起着实数（等于他们的复共轭）的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。

无界算子的伴随
许多重要的算子不是连续的或只定义在希尔伯特的一个子空间上。在这种情形，我们仍然能定义伴随，在自伴算子一文有解释。

其他伴随
范畴论中，方程
: \lang Ax , y \rang = \lang x , A^* y \rang
形式上类似地定义了伴随函子偶性质，这也是伴随函子得名之由来。

又见

• 数学概念

** 线性代数
** 内积
** 希尔伯特空间
** 埃尔米特算子
** 范数
** 算子范数
** 线性映射的转置

• 物理应用

** 对偶空间
** 狄拉克符号
** 量子力学
** 可观测量

参考文献

• Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006

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