数学中，特别是泛函分析中，作用于希尔伯特空间X、Y之间的紧算子T: X \rightarrow Y的奇异值是自伴算子T^T（T^表示T的伴随）的非负特征值的平方根。

奇异值是非负实数，一般按递减顺序排列（\sigma_1(T),\ \sigma_2(T),\dots）。最大的奇异值\sigma_1(T)等于T的算子范数（见极小-极大定理）。

矩阵M的奇异值分解可视化。首先，可见蓝色的单位圆盘与2个标准基向量；然后，可见M的作用：将圆盘扭曲为椭圆。SVD将M分解为3个简单变换：旋转V^、沿旋转轴的缩放Σ及第二次旋转 U。Σ是对角矩阵（本例中是方阵），对角线上包含M*的奇异值，代表椭圆半轴长度\sigma_1,\ \sigma_2。]]

作用于欧氏空间\Reals ^n的T的奇异值有简单的几何解释：单位n球在T变换下的像是椭球，其半轴长度是T的奇异值（图中提供了\R^2的例子）。

奇异值是正规矩阵A的特征值的绝对值，由谱定理可得A的单位对角化：A = U\Lambda U^。因此有\sqrt{A^ A} = \sqrt{U \Lambda^ \Lambda U^} = U \left| \Lambda \right| U^*。

研究的希尔伯特空间算子的大多数范数都是用奇异值定义的。例如，樊𰋀-k-范数是前k个奇异值的和，迹范数是所有奇异值的和，沙滕范数是奇异值的p次幂之和的p次根。注意每种范数都只定义在一类特殊的算子上，因此奇异值有助于算子的分类。

有限维情形，矩阵总可以分解为\mathbf{U\Sigma V^}，其中\mathbf{U}、\mathbf{V^}是酉矩阵，\mathbf{\Sigma}是矩形对角矩阵，奇异值在对角线上。这就是奇异值分解。

基本性质
对A \in \mathbb{C}^{m \times n}、i = 1,2, \ldots, \min \{m,n\}。

应用特征值的最小-最大定理。这里U: \dim(U) = i是\mathbb{C}^n的i维子空间。

:\begin{align}
\sigma_i(A) &= \min_{\dim(U)=n-i+1} \max_{\underset{\| x \|_2 = 1}{x \in U}} \left\| Ax \right\|_2. \\
\sigma_i(A) &= \max_{\dim(U)=i} \min_{\underset{\| x \|_2 = 1}{x \in U}} \left\| Ax \right\|_2.
\end{align}

矩阵转置和共轭不会改变奇异值。

:\sigma_i(A) = \sigma_i\left(A^\textsf{T}\right) = \sigma_i\left(A^*\right).

对任意酉矩阵U \in \mathbb{C}^{m \times m}, V \in \mathbb{C}^{n \times n}

:\sigma_i(A) = \sigma_i(UAV).

与特征值的关系：

:\sigma_i^2(A) = \lambda_i\left(AA^\right) = \lambda_i\left(A^A\right).

与迹的关系：

:\sum_{i=1}^n \sigma_i^2=\text{tr}\ A^\ast A.

若A^\top A满秩，则奇异值的积是\sqrt{\det A^\top A}。

若A A^\top满秩，则奇异值的积是\sqrt{\det A A^\top}。

若A满秩，则奇异值的积是|\det A|。

关于奇异值的不等式
另见

子矩阵的奇异值
对A \in \mathbb{C}^{m \times n}，

令B表示删除了某一行或某一列的A。则\sigma_{i+1}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)

令B表示删除了某一行和某一列的A。则\sigma_{i+2}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)

令B表示A的(m-k)\times(n-l)子矩阵，则\sigma_{i+k+l}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)

A + B的奇异值
对A, B \in \mathbb{C}^{m \times n}

\sum_{i=1}^{k} \sigma_i(A + B) \leq \sum_{i=1}^{k} (\sigma_i(A) + \sigma_i(B)), \quad k=\min \{m,n\}

\sigma_{i+j-1}(A + B) \leq \sigma_i(A) + \sigma_j(B). \quad i,j\in\mathbb{N},\ i + j - 1 \leq \min \{m,n\}

AB的奇异值
对A, B \in \mathbb{C}^{n \times n}

\begin{align}

\prod_{i=n}^{i=n-k+1} \sigma_i(A) \sigma_i(B) &\leq \prod_{i=n}^{i=n-k+1} \sigma_i(AB) \\
\prod_{i=1}^k \sigma_i(AB) &\leq \prod_{i=1}^k \sigma_i(A) \sigma_i(B), \\
\sum_{i=1}^k \sigma_i^p(AB) &\leq \sum_{i=1}^k \sigma_i^p(A) \sigma_i^p(B),
\end{align}

\sigma_n(A) \sigma_i(B) \leq \sigma_i (AB) \leq \sigma_1(A) \sigma_i(B) \quad i = 1, 2, \ldots, n.

对A, B \in \mathbb{C}^{m \times n}
2 \sigma_i(A B^) \leq \sigma_i \left(A^ A + B^* B\right), \quad i = 1, 2, \ldots, n.

奇异值与特征值
对A \in \mathbb{C}^{n \times n}.

见 \lambda_i \left(A + A^*\right) \leq 2 \sigma_i(A), \quad i = 1, 2, \ldots, n.

假设\left|\lambda_1(A)\right| \geq \cdots \geq \left|\lambda_n(A)\right|，则对k = 1, 2, \ldots, n：

外尔定理 \prod_{i=1}^k \left|\lambda_i(A)\right| \leq \prod_{i=1}^{k} \sigma_i(A).

对p>0。 \sum_{i=1}^k \left|\lambda_i^p(A)\right| \leq \sum_{i=1}^{k} \sigma_i^p(A).

历史
奇异值这一概念由埃哈德·施密特（1907）提出，当时称奇异值为“特征值”。“奇异值”的名称由史密斯于1937年首次使用。1957年，Allahverdiev证明了第n个奇异值的如下特征：
: \sigma_n(T) = \inf\big\{\, \|T-L\| : L\text{的秩}

这种表述使奇异值概念可以推广到巴拿赫空间的算子。
注意还有更一般的s-数（s-number）概念，也包括盖尔范德和柯尔莫哥洛夫宽。

另见
*条件数
*庞加莱分离定理
*舒尔–霍恩定理
*奇异值分解

参考文献