施图姆-刘维尔理论

在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆和约瑟夫·刘维尔的名字命名的施图姆-刘维尔方程（）是指二阶线性实微分方程：
{{NumBlk||\frac{d}{dx}\!\!\left[\,p(x)\frac{dy}{dx}\right] + q(x)y = -\lambda\, w(x)y, |}}

其中给定系数函数, , 和均为已知函数，和是以为自由变量的未知的待求解函数，称为解；\lambda是一个未定常数。又记为，称为'权（weight）'函数或'密度(density)'函数。所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式。

在一个正则的施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题中，在有界闭区间[a,b]上，三个系数函数p(x),w(x),q(x)应满足以下性质：

• p(x)>0,w(x)>0；
• p(x),p'(x),w(x),q(x) 均连续；
• y(x) 满足边界条件 \alpha_1 y(a)+\alpha_2 y'(a)=0 及 \beta_1 y(b)+\beta_2 y'(b)=0（\alpha_1^2+\alpha_2^2>0,\beta_1^2+\beta_2^2>0）。

只有一些恰当的\lambda能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解（非零解）。这些\lambda称为方程的特徵值，对应的非平凡解称为特徵函数，而特徵函数的集合则称为特徵函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中，引入埃尔米特算子，形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性，以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。

施图姆-刘维尔理论提出：

• 施图姆-刘维尔特徵值问题，存在无限多个实数特徵值，而且可以排序为：

:\lambda_1；

• 对于每一个特徵值\lambda_n都有唯一的（已被归一化的）特徵函数y_n(x)，且y_n(x)在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中y_n(x)称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解；
• 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间L^2([a,b],w(x)\mathrm{d}x)上有正交性和完备性，形成一组正交基：

: \int_a^b y_n(x)y_m(x)w(x)\,\mathrm{d}x = \delta_{mn}
:其中\delta_{mn}是克罗内克函数。

一些函数的施图姆-刘维尔形式
只要乘以一个恰当的积分因子，所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。

贝塞尔方程
: x^2y*+xy'+(x^2-\nu^2)y=0\,

: 等价于：

: (xy')'+(x-\nu^2/x)y=0.\,

勒让德方程
: (1-x^2)y*-2xy'+\nu(\nu+1)y=0\;\!

: 注意到 D(1 − x2) = −2x，因此等价于：

: [(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0\;\!

二体系统施图姆-刘维尔方程
二体问题常用的换元的技巧是通过 u=1/r \! 和 \dot{\theta}=Lu^{2}/m\! 将原方程中对时间的求导转化为对角度 \theta\! 的求导，并得到Sturm-Liouville型方程
:(Lu')'+Lu = 1/L\!

使用积分因子的例子
: x^3y*-xy'+2y=0.\,

: 两边同时除以x3:

: y*-{x\over x^3}y'+{2\over x^3}y=0

: 再乘以积分因子：

: \mu(x) = e^{\int -{x / x^3}\,\mathrm{d}x}=e^{\int -{1 / x^2}\, \mathrm{d}x}=e^{1 / x},

: 得到：

: e^{1 / x}y*-{e^{1 / x} \over x^2} y'+ {2 e^{1 / x} \over x^3} y = 0

: 又注意到：

: D e^{1 / x} = -{e^{1 / x} \over x^2}

: 因此原方程等价于：

: (e^{1 / x}y')'+{2 e^{1 / x} \over x^3} y =0.

一般形式二阶常微分方程的积分因子
: P(x)y*+Q(x)y'+R(x)y=0\,

: 两边同时乘以积分因子：

: \mu(x) = {1 \over P(x)} e^{\int {Q(x) / P(x)}\,\mathrm{d}x},

: 整理后得到：

: {d \over dx} (\mu(x)P(x)y')+\mu(x)R(x)y=0

: 或者把积分因子写出来：

: {d \over dx} (e^{\int {Q(x) / P(x)}\,\mathrm{d}x}y')+{R(x) \over P(x)} e^{\int {Q(x) / P(x)}\,\mathrm{d}x} y = 0

参阅

• 简正模

参考文献