泛函分析中，有限秩算子（）是巴拿赫空间之间，像的维数有限的有界线性算子。
希爾伯特空間中
典範型
有限秩算子類似有限大小的矩陣，但是放在無窮維空間中。於是，可藉線性代數技巧刻畫其性質。
由線性代數知，複矩陣M \in \mathbb C^{n \times m}之秩為1，當且僅當M可以寫成：
:M = \alpha \cdot u v^* 其中 \|u \| = \|v\| = 1 且 \alpha \geq 0
同樣可證希氏空間H上，算子T之秩為1，當且僅當
:T h = \alpha \langle h, v\rangle u \quad \forall h \in H ,
其中\alpha, u, v與有限維情況滿足同等條件。由此，用數學歸納法，可證秩n的算子T必可寫成
:T h = \sum _{i = 1} ^n \alpha_i \langle h, v_i\rangle u_i \quad \forall h \in H ,
其中\{u_i: i = 1, 2, \ldots, n\}和\{v_i:i = 1, 2, \ldots, n}\皆為标准正交基。前述表示法實質等同於奇异值分解，可以稱為有限秩算子的「典範型」（）。
略加推廣，若n改為可數無窮，而正實數列\{ \alpha_i\}僅會聚於0，則T為，相應的和式稱為緊算子的典範型。
若級數\sum_i \alpha_i（跡）收斂，則T是迹类算子。
代數性質
希氏空間H上，全體有限秩算子之族F(H)是有界算子代數L(H)的雙邊理想。此外，其為此類（非零）理想中最小者，即L(H)的任何雙邊理想I必包含全體有限秩算子。簡證如下：取非零算子T \in I，則有非零的f, g使T f = g。衹需證對任意h, k \in H，將h映至k的秩1算子S_{h, k}屬於I。同樣定義S_{h, f}和S_{g, k}，則有
:S_{h,k} = S_{g,k} T S_{h,f}, \,
從而S_{h, k}在I中，證畢。
L(H)的雙邊*理想舉例有跡類、希尔伯特-施密特算子類、紧算子類。三類各自配備範數，而F(H)在此三個賦範空間中稠密。
由於L(H)的每個雙邊理想都包含F(H)，L(H)為單代數當且僅當有限維。
巴拿赫空間中
巴拿赫空间U, V之間的有限秩算子T:U\to V是值域僅得有限維的有界算子。與希氏空間的情況一樣，可以寫成
:T h = \sum _{i = 1} ^n \langle u_i, h\rangle v_i \quad \forall h \in U ,
其中v_i\in V，但由於U中沒有定義內積，u_i\in U'換成U上的有界線性泛函。
有界線性泛函是有限秩算子的特例，其秩為1。
參考文獻
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