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沙滕范数

Wikipedia · 2026-02-04 维基百科 👁 1 阅读

泛函分析中，沙滕范数（Schatten norm，或沙滕–冯·诺依曼范数，Schatten–von-Neumann norm）来自p-可积的推广，与迹类范数、希尔伯特-施密特范数相似。

定义
令H_1,\ H_2是希尔伯特空间，T:\ H_1\to H_2是（线性）有界算子。对p\in [1,\infty)，定义T的沙滕p-范数为

: \|T\| _p = [\operatorname{Tr} (|T|^p)]^{1/p},
其中|T|:=\sqrt{(T^*T)}，平方根是算子平方根。

若T是紧的、H_1,\,H_2可分离，则

: \|T\| _p := \bigg( \sum_{n\ge 1} s^p_n(T)\bigg)^{1/p}

T的奇异值（即厄米算子|T|:=\sqrt{(T^*T)}的特征值）满足s_1(T) \ge s_2(T) \ge \cdots \ge s_n(T) \ge \cdots \ge 0。

性质
下面将p的范围推广到[1,\infty]， \|\cdot\|_{\infty} 表示算子范数。指标p=\infty的对偶是q=1。

  • 沙滕范数是酉不变的：对酉算子U、V、p\in [1,\infty]，

:: \|U T V\|_p = \|T\|_p.

  • 它们满足赫尔德不等式：\forall p\in [1,\infty],\ q使得\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1，以及定义在希尔伯特空间之间的算子 S\in\mathcal{L}(H_2,H_3), T\in\mathcal{L}(H_1,H_2)，

:: \|ST\|_1 \leq \|S\|_p \|T\|_q.
若p,q,r\in [1,\infty]满足\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = \tfrac{1}{r}，则
:: \|ST\|_r \leq \|S\|_p \|T\|_q.
赫尔德不等式的这后一个形式有更一般情形的证明（对非交换L^p空间，而非沙滕-p类。对于矩阵，见）。

  • 子乘性：\forall p\in [1,\infty]、定义在希尔伯特空间H_1, H_2, H_3之间的算子 S\in\mathcal{L}(H_2,H_3), T\in\mathcal{L}(H_1,H_2)，

:: \|ST\|_p \leq \|S\|_p \|T\|_p .

  • 单调性：对于 1\leq p\leq p'\leq\infty，

:: \|T\|_1 \geq \|T\|_p \geq \|T\|_{p'} \geq \|T\|_\infty.

  • 对偶性：令H_1, H_2为有限维希尔伯特空间， p\in [1,\infty]，q满足\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1，则

:: \|S\|_p = \sup\lbrace |\langle S,T\rangle | \mid \|T\|_q = 1\rbrace,

: 其中\langle S,T\rangle = \operatorname{tr}(S^*T) 表示希尔伯特-施密特算子。

*令 (e_k)_k,(f_{k'})_{k'}为希尔伯特空间H_1, H_2的两个正交基，则对 p=1

:: \|T\|_1 \leq \sum_{k,k'}\left|T_{k,k'}\right|.

备注
注意\|\cdot\|_2 是希尔伯特-施密特范数（见希尔伯特-施密特算子），\|\cdot\|_1 是迹类范数（见迹类算子），\|\cdot\|_\infty是算子范数（见算子范数）。
对p\in(0,1)，函数\|\cdot\|_p是拟赋范空间的例子。

具有有限沙滕范数的算子称作沙滕类算子，其空间记作 S_p(H_1,H_2)。此范数下 S_p(H_1,H_2)是巴拿赫空间，对p=2是希尔伯特空间。

注意 S_p(H_1,H_2) \subseteq \mathcal{K} (H_1,H_2)，后者即紧算子代数。这是因为，若和有限，则谱也有限或至多是可数无穷多，且以原点为极限点，因此是紧算子。

p=1情形常称作核范数（或迹范数、樊𰋀n-范数）。

另见
矩陣範數#Schatten 范数

参考文献

#算子理论

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