正交补

在线性代数和泛函分析的数学领域中，内积空间 V 的子空间 W 的正交补（） W^\bot 是正交于 W 中所有向量的所有 V 中向量的集合，也就是

:W^\bot=\left\{\,x\in V : \forall y\in W, \langle x , y \rangle = 0 \, \right\}.\,

正交补总是闭合在度量拓扑下。在希尔伯特空间中，W 的正交补的正交补是 W 的闭包，就是说

:W^{\bot\,\bot}=\overline{W}.\,

如果 A 是 m \times n 矩阵，而 \mbox{Row } A, {\mbox{Col } } A 和 \mbox{Nul } A 分别指称列空间、行空间和零空间，则有

:(\mathrm{Row}\, A)^\bot = \mathrm{Nul}\, A

和

:(\mathrm{Col}\, A)^\bot = \mathrm{Nul}\, A^T

巴拿赫空间
在一般的巴拿赫空间中有自然的类似物。在这种情况下类似的定义 W 的正交补为 V 的对偶的子空间

:W^\bot = \left\{\,x\in V^* : \forall y\in W, x(y) = 0 \, \right\}.\,

它总是 V^ 的闭合子空间。它也有类似的双重补性质。W^{\bot\,\bot} 现在是 {V^}^ 的子空间(它同一于 V)。但是自反空间有在 V 和 {{V^}^*} 之间的自然同构 i。在这种情况下我们有

:i\overline{W} = W^{\bot\,\bot}.

这是哈恩-巴拿赫定理的直接推论。