柯西-施瓦茨不等式（），又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式或柯西不等式，在多個数学领域中均有應用的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广，如赫尔德不等式。
不等式以奧古斯丁-路易·柯西，赫爾曼·施瓦茨，和命名。
叙述
V 是個複内积空间，則對所有的 v,\,w \in V 有：
: (a) \|v\|\|w\|\geq |\langle v,\,w \rangle|
: (b) \|v\|\|w\| = |\langle v,\,w \rangle| \Leftrightarrow 存在 \lambda \in \C 使 v = \lambda \cdot w
證明請見内积空间#柯西-施瓦茨不等式。
特例
實數
{{Math theorem
| math_statement =
對有限实数数列 {\{x_i \in \mathbb{R} \}}_{i = 1}^{n}和{\{y_i \in \mathbb{R} \}}_{i = 1}^{n}，有
:\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)
也就是
:(x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \ge (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2
等式成立時存在實數\lambda \in \R，對於任意的正整數i \in \N有
:y_i = \lambda x_i
}}
此定理可以根據点积為内积的事實，然後設：
:x = (x_1,\,\dots,\,x_n) \in \R^n
:y = (y_1,\,\dots,\,y_n) \in \R^n
這樣根據一般內積空間的柯西不等式就可以得証，也可以如下依據實數的性質直接證明
複數
n維复数空間\C^n事實上是個定義在域\C(也就是純量母空間)上的複係數内积空间，只要對任意x,\,y \in \C^n定義如下的內積函數：
:x = (x_1,\,\dots,\,x_n) \in \C^n
:y = (y_1,\,\dots,\,y_n) \in \C^n
:\langle x, \, y \rangle
:=
\sum^n_{i=1} x_i\overline{y_i}
:\|x\|^2
:=
\langle x, \, x \rangle
\sum^n_{i=1} x_i\overline{x_i}
\sum^n_{i=1} |x_i|^2
這樣根據一般內積空間的柯西不等式就有：
:|\langle x, \, y \rangle|
\leq
\|x\|\|y\|
直接以複數性質證明的事實上與一般內積空間的證明方法雷同，請參閱内积空间#柯西-施瓦茨不等式。
矩阵
一般线性代数的書籍習慣將複數版本的柯西不等式以矩阵表示，換句話說，取：
:\mathbf{x}
=
\begin{bmatrix}
x_1 \\
\ldots \\
x_n
\end{bmatrix}
:\mathbf{y}
=
\begin{bmatrix}
y_1 \\
\ldots \\
y_n
\end{bmatrix}
:\mathbf{x}^\star
:=
\begin{bmatrix}
\overline{x_1} & \dots & \overline{x_n}
\end{bmatrix}(共軛加上转置)
這樣的話，複數版本的柯西不等式可以重寫為：
:\mathbf{x}^\star\mathbf{y}
\leq
(\mathbf{x}^\star\mathbf{x})(\mathbf{y}^\star\mathbf{y})
注意到矩陣乘法偷懶地把只有一個元素的矩陣視為那個元素本身，而且為了符合矩陣乘法和线性映射的對應：
:T(\mathbf{x})
\mathbf{T}\mathbf{x}
\begin{bmatrix}
T_{11} & \cdots & T_{1n} \\
\vdots & &\vdots\\
T_{nn} & \cdots & T_{nn} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix}
必須把内积空间的線性定義改為：（也就是符合狄拉克符号的習慣）
但這並沒有產生任何新的性質。而等號成立地條件也只是換種說法，說成是\mathbf{x}与\mathbf{y}线性相关。
Lp空间
- 對平方可積的複值函數，有
:\left|\int_{\R^n} f(x) \overline{g(x)}\,dx\right|^2 \leq \int_{\R^n} |f(x)|^2\,dx \int_{\R^n} |g(x)|^2 \,dx。
可一般化為赫爾德不等式。
- 原不等式可以增強至拉格朗日恒等式
:\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2。
:这是
:\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)-\left(\sum_{1\le i
同名的定理
正定對稱算子
V是個複内积空间，如果W \subseteq V， A:W \to V，這時如果對所有a \in W 都有\langle A(a), a \rangle \geq 0，稱A是V的一個正定算子（）。
類似的，如果對所有a,\,b \in W 都有\langle A(a),\, b \rangle
=
\langle a,\, A(b) \rangle，稱A是V的一個對稱算子（）。
\cdot x
: e_y = \frac{1} \cdot y
: \alpha = \langle A(e_x),\,e_y \rangle
則
\begin{align}
\langle\, A[e_x \oplus (-\alpha) \cdot e_y],\, e_x \oplus (-\alpha) \cdot e_x\,\rangle
&= \langle\, A(e_x) \oplus (-\alpha) \cdot A(e_y),\, e_x \oplus (-\alpha) \cdot e_x\,\rangle \\
&=
\langle\, A(e_x),\, e_x \,\rangle
- \alpha \langle\, A(e_y) ,\, e_x \,\rangle
- \overline{\alpha} \langle\, A(e_x) ,\, e_y \,\rangle
- \alpha\overline{\alpha} \langle\, A(e_y),\, e_y \,\rangle \\
&= 1 - \alpha\overline{\alpha} - \overline{\alpha}\alpha + \alpha\overline{\alpha} \\
&= 1- \left| \frac{ \langle\, A(x),\, y \,\rangle }{ \langle\, A(e_x),\, e_x \,\rangle \langle\, A(e_y),\, e_y \,\rangle } \right|^2 \\
&\geq 0
\end{align}
所故得証。\Box
|}
考慮到對稱算子A在有有限基底的向量空间中都可以唯一的表示成某個埃尔米特矩阵\mathbf{A}，一般线性代数的書籍習慣以如下的形式表示：
:|\mathbf{A}\mathbf{x^\star}\mathbf{y}|^2
\leq
(\mathbf{A}\mathbf{x^\star}\mathbf{x})(\mathbf{A}\mathbf{y^\star}\mathbf{y})
另外，正定算子對應的矩陣元素都必須\geq 0，所以正定對稱算子對應的\mathbf{A}是對稱且非負的矩陣。
這個定理無法視為本章所述的柯西不等式的特例，因為\langle\, A(x) ,\, x \,\rangle = 0不一定能推出x = 0_V，如：
:A: \C^{2 \times 1} \to \C^{2 \times 1}
:A\left(
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\right)
=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}
:
:\left\langle\,
\begin{bmatrix}
a_1 \\
a_2
\end{bmatrix}
,\,
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{bmatrix}
\,\right\rangle
:=
a_1\overline{b_1} +a_2\overline{b_2}
的話，那：
:\left\langle\,
A
\left(
\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}
\right)
,\,
\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}
\,\right\rangle
=
\left\langle
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}
,\,
\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}
\right\rangle
=
\left\langle
\begin{bmatrix}
0\\
0
\end{bmatrix}
,\,
\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}
\right\rangle
=
0
所以
:f:\C^{2 \times 1} \times \C^{2 \times 1} \to \C
:f(\mathbf{x},\,\mathbf{y})
=
\langle\, \mathbf{A}\mathbf{x},\,\mathbf{y} \,\rangle
不一定有非退化的性質，而不能視為內積，所以就無法直接套用內積空間的柯西不等式。這也意味著以上定理等號成立的條件，不必然是线性相关。
复变函数中的柯西不等式
设 f(z)在区域D及其边界上解析，a 为D内一点，以a为圆心做圆周 C_R:|z-a|=R，只要C_R及其内部G均被D包含，则有：
\left| f^{(n)}(z_{0})\right|\leq \frac{n!M}{R^n}\qquad (n=1,2,3,...)
其中，M是|f(z)|的最大值，M=\max \limits_{|x-a|\in R}|f(x)|
。
其它推广
\sqrt{\sum_{i=1}^n (\sum_{j=1}^m a_{ij})^2} \le \sum_{j=1}^m \sqrt{\sum_{i=1}^n a_{ij}^2}
m\ge \alpha >0,(\sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^m a_{ij})^{\alpha} \le \prod_{j=1}^m \sum_{i=1}^n a_{ij}^{\alpha}
若\displaystyle q_i\ge 0,\sum_i q_i=1，则\displaystyle (x^A^{\sum_i a_i q_i}x)\le \prod_i (x^A^{a_i}x)^{q_i}
參見
- 三角不等式
- 內積空間
注释
参考资料
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