一般线性群
在數學中，n 次一般線性群是 n×n 可逆矩陣的集合，和與之一起的普通矩陣乘法運算。這形成了一個群，因為兩個可逆矩陣的乘積也是可逆矩陣，而可逆矩陣的逆元還是可逆矩陣。叫這個名字是因為可逆矩陣的縱列是線性無關的，因此它們定義的向量／點是在一般線性位置上的，而在一般線性群中的矩陣把在一般線性位置上的點變換成在一般線性位置上的點。 为了使定义更明确，必需規定哪類對象可以成為矩陣的元素。例如，在 R（實數集）上的一般線性群是實數的 n×n 可逆…
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共 11 篇文章
彼得-魏尔定理
彼得-魏尔定理（）是调和分析和群表示论中的一组重要定理，于1927年由赫尔曼·魏尔和他的学生证明。该定理刻画了紧群不可约表示的完备性，可以视作有限群表示理论中弗罗贝尼乌斯定理的推广。定理分为三部分：第一部分指出，紧群G的所有有限维不可约的，在G上所有复值连续群函数构成、配备了的空间中稠密。第二部分指出，G在任何一个可分希尔伯特空间上的酉表示都完全可约。第三部分断言，G的所有有限维不可约酉表示的矩阵元构成了G上平方可积的复值函数空间的一组…
特徵標理論
在數學裡，尤其是在群表示理論裡，一個群表示的特徵標（）是一個將群的每個元素映射對應矩陣的跡(Trace)的函數。特徵標蘊藏著群的許多重要性質，且因此可以用來做群的研究。 特徵標理論是對有限簡單群分類的一個有重要的工具。在范特-湯普遜定理證明接近一半的地方會有一個用到特徵標的複雜計算。另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在特徵標理論，如伯恩賽德定理及理查·布勞爾和鈴木通夫所證出之定理，此定理表示有限簡單群不會有一個為廣義四元群的西洛2-…
舒尔正交关系
舒尔正交关系（）描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群，特别是紧李群，比如旋转群 SO(3)。此關係可藉由舒尔引理證明。 有限群 令 \Gamma^{(\lambda)} (R)_{mn} 是一个 |G| 阶（即 G 有 |G| 个元素）有限群 G=\{R\} 的一个不可约矩阵表示 \Gamma^{(\lambda)} 的矩阵元素。因为可以证明任何有限群的不可约矩阵表示等价于一个酉表示，我们假设 \Gamma^{(\lam…
群表示論
在群論中，群表示論（）是一个非常重要的理論。它包含了（局部）緊緻群、李群、李代數及群概形的表示等種種分支，近來無限維表示理論也漸露頭角。表示理論在量子物理與數學的各領域中均有重要應用。 基本定義 表示理論早期是藉矩陣的語言描述的，具體定義如下： 如果任何非零方陣的集合的乘法關係和给定群的乘法關係相同，则這個矩陣集合形成群的一個表示，這套矩陣的階稱為表示的維數。 如果兩個同維表示的矩陣以同一相似變換相關聯，則稱這兩個表示是等價的。 如果任…
有限群表示論
在數學裡，表示理論是以線性變換的群來分析一般抽象群的一種技術。相關的介紹請見群表示，此條目則討論含有有限個元素的群的表示理論。 表示論也在諸多領域上有應用，例如說：量子化學或是量子物理等等。除此之外，有限群表示論也常應用在代數上去檢驗群的結構，甚至在其他數學領域上，例如調和分析或是數論上，都是有應用的。 基本定義 此條目中的所有線性變換都是有限維的，且除了有另外提起外，基域都假定為複數域。G的表示是一個群同構 ρ:G → GL(n,C)…
马施克定理
在代数中，马施克定理是有限群表示论中基本的定理之一。 定理 若V是域K上的有限维线性空间，(V, \rho)是有限群G的表示, U_0是V的G不变子空间, K的特征不能整除G的阶， 则存在V中的G不变子空间W，使得V=W\oplus U_0，从而(V, \rho)是完全可约的。 证明 U_0是V的子空间，所以存在U_0在V中的补空间W_0，及投影P_0, Q_0，使得 U_0=P_0V W_0=Q_0V P_0^2-P_0=Q_0^2-…
類函數
定義 在數學中，一個類函數是一個群G上的函數f，使得f在G的共軛類上取常數值。換言之，f在共軛映射下不變。這些函數在群表示理論中佔有基礎地位。 性質 一個線性表示的特徵標是類函數；可以證明：若G為有限群，F是一個域，且\mathrm{char}(F)不整除G，則G上取值在F裡的類函數係由特徵標展成，此時類函數構成群代數F[G]的中心。 文獻 J.L. Alperin, Rowen B. Bell, Groups and Represen…
約化群
在數學中，約化群是冪單根為平凡群的代數群。代數環面與半單代數群都是約化群，一般線性群\mathrm{GL}(n)亦然。 「約化」一詞源於下述事實：零特徵域上的約化群的線性表示都是完全可約的。 約化李群 對於李群G，以下陳述等價 G是某個\mathbb{R}-約化群的覆疊空間（帶有相應的李群結構）。 #其李代數\mathfrak{g}同構於某個\mathbb{R}-約化群的李代數。 #其李代數\mathfrak{g}可寫成一個半單李代數與…
射影表示
在表示论中，群 G 在域 F 上的向量空間 V 上的射影表示指从G到射影线性群PGL的一個群同態 : G \to \mathrm{PGL}(V) := \mathrm{GL}(V)/F^ 其中 \mathrm{GL}(V) 表示在域F上向量空間 V 的可逆线性变换构成的一般线性群，而 F^ 視為純量積映射 v \mapsto cv，其中 c \in F^。 若 V 維度有限，選定基底後可將 \mathrm{PGL}(V) 理解為 \ma…
平凡表示
在數學裡，尤其是在群表示理論裡，一個群的表示若被稱為是一個平凡表示的話，則表示它是被定義在一個體K上的一維向量空間V，且所有於G內的元素g都會以單位映射作用在V上。對於任何一種此類的V，這種表示都會存在著，且在K上的任何兩種此類的表示也都會是等價的。 儘管平凡表示的建構模式使得它看起來像是多餘的，但它確實是這個理論的一個很基本的物件。例如說，當一個子表示會等價於一個平凡表示，即表示其是由不變向量所構成的。因此找尋此類的子表示便成了不變量…