马施克定理

在代数中，马施克定理是有限群表示论中基本的定理之一。

定理
若V是域K上的有限维线性空间，(V, \rho)是有限群G的表示, U_0是V的G不变子空间, K的特征不能整除G的阶，

则存在V中的G不变子空间W，使得V=W\oplus U_0，从而(V, \rho)是完全可约的。

证明
U_0是V的子空间，所以存在U_0在V中的补空间W_0，及投影P_0, Q_0，使得

U_0=P_0V

W_0=Q_0V

P_0^2-P_0=Q_0^2-Q_0=P_0Q_0=Q_0P_0=0

P_0+Q_0=1

由条件“K的特征不能整除G的阶”，令N=|G|，则N是域K中的可逆元。

定义新的投影算子

P=N^{-1}\sum_{g\in G}gP_0 g^{-1}

Q=N^{-1}\sum_{g\in G}gQ_0 g^{-1}

则

P+Q=1

P^{2}=P

Q^{2}=Q

PQ=QP=0

于是

V=U\oplus W

其中
U=\textrm{Im}{P}，
W=\textrm{Im}{Q}

由P的定义
U=\textrm{Im}P \subseteq U_0

另一方面可以直接验证
\forall u=P_0v \in U_0, Q u=QP_0v=0
从而
U_0 \subseteq \textrm{Ker}Q=\textrm{Im}P=U

故
U=U_0

V=U_0\oplus W

注意到\forall g \in G, gQ=Qg

W是G不变子空间。

证毕。

参考
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