射影表示

在表示论中，群 G 在域 F 上的向量空間 V 上的射影表示指从G到射影线性群PGL的一個群同態

: G \to \mathrm{PGL}(V) := \mathrm{GL}(V)/F^*

其中 \mathrm{GL}(V) 表示在域F上向量空間 V 的可逆线性变换构成的一般线性群，而 F^ 視為純量積映射 v \mapsto cv，其中 c \in F^。

若 V 維度有限，選定基底後可將 \mathrm{PGL}(V) 理解為 \mathrm{PGL}(n,F)，即 n \times n 階可逆矩陣對正規子群 F^* \cdot \mathrm{id}_V 之商群。

對於給定的群表示 \rho: G \to \mathrm{GL}(V)，與商映射 p: \mathrm{GL}(V) \to \mathrm{PGL}(V) 合成後可得到一個射影表示。較常探討的是逆向的問題：如何將一個射影表示 \bar{\rho}: G \to \mathrm{PGL}(V) 提升至一個表示 \rho: G \to \mathrm{GL}(V)，使得 p \circ \rho = \bar{\rho}？

對於提升問題，通常採取如下進路：取同態 \bar{\rho}: G \to \mathrm{PGL}(V) 與 p: \mathrm{GL}(V) \to \mathrm{PGL}(V) 的纖維積，得到一個中心擴張
: 1 \to F^* \to \tilde{G} \to \mathrm{GL}(V) \to 1
其中 \tilde{G} = \{ (g,M) \in G \times \mathrm{GL}(V) | p(M)=\rho(g) \} 。

這類擴張由群上同調 H^2(\mathrm{GL}(V), F^) 分類。若此擴張是平凡的，則 \bar{\rho} 可提升至 G 的表示。即使此表示無法提升，仍可退而求其次，藉群上同調研究擴張的性質，例如：擴張對應的上同調類 \alpha \in H^2(\mathrm{GL}(V), F^) 滿足 n\alpha=0 若且唯若 \bar{\rho} 可提昇為某個中心擴張 1 \to \mathbf{\mu}_n \to \hat{G} \to \mathrm{GL}(V) \to 1 的 \hat{G} 的表示。

參見
*表示論
*群作用