穆尔-彭罗斯广义逆（），通常標記為A^\dagger或A^+，是著名的广义逆矩阵之一。

1903年，埃里克·伊瓦爾·弗雷德霍姆提出积分算子的伪逆的概念。穆尔-彭罗斯广义逆先后被E·H·穆爾（1920年）、（1951年） 、羅傑·潘洛斯（1955年）发现或描述。

它常被用于求得或简化非一致线性方程组的最小范数最小二乘解（最小二乘法）。

矩阵的穆尔-彭罗斯广义逆在实数域和复数域上都是唯一的，并且可以通过奇异值分解求得。

定义
定义一
令PS表示到向量空间S上的正交投影。对于任意一个m乘n的复矩阵A，设R(A)表示A的值域空间。穆尔于1935年证明矩阵A的广义逆矩阵G必须满足的条件：

\boldsymbol{AG}=\boldsymbol{P}_{R(\boldsymbol{A})},\boldsymbol{GA}=\boldsymbol{P}_{R(\boldsymbol{A_H})}

以上两个条件称为穆尔条件。满足穆尔条件的矩阵G称为矩阵A的穆尔逆矩阵。

定义二
彭罗斯于1955年提出了定义广义逆矩阵的另外一组条件

满足该定义的第一个条件的矩阵被称为广义逆。如果该矩阵也满足第二个定义，它就被称为广义反身逆阵（generalized reflexive inverse）。广义逆矩阵总存在，但一般不唯一。唯一性是最后两个条件的结果。

基本性质
这些性质的证明可以在維基教科書中找到。

• 如果 有实数项，那么 也有。
• 如果 是可逆的，它的伪逆就是它的逆矩阵，即： A^\dagger = A^{-1}.
• 零矩阵的伪逆是它的转置。
• 矩阵伪逆的伪逆是原矩阵，即： \left(A^\dagger \right)^\dagger = A.

#

\begin{aligned}

A^\dagger A BB^ A^ & = BB^ A^, \\
BB^\dagger A^ A B & = A^ A B.
\end{aligned}

\begin{aligned}

\left(A^\dagger A BB^\right)^ & = A^\dagger A BB^*, \\
\left(A^ A BB^\dagger\right)^ & = A^* A BB^\dagger.
\end{aligned}

A^\dagger A BB^ A^ A BB^\dagger = BB^ A^ A

\begin{aligned}

A^\dagger A B & = B (AB)^\dagger AB, \\
BB^\dagger A^ & = A^ A B (AB)^\dagger .
\end{aligned}

下方列出了 的充分条件：

的列单位正交（此时A^*A = A^\dagger A = I_n），或

的行单位正交 （此时 BB^* = BB^\dagger = I_n） ，或

的列线性无关（此时 A^\dagger A = I ） 同时 的行线性无关（此时 BB^\dagger = I），或

B = A^*，或

B = A^\dagger。

下方列出了 的必要条件：

(A^\dagger A) (BB^\dagger) = (BB^\dagger) (A^\dagger A)

由最后一个充分条件得出等式：\begin{align}
\left(A A^\right)^+ &= A^{+} A^+, \\
\left(A^ A\right)^+ &= A^+ A^{+}.
\end{align}注意: 等式 一般不成立，例如：\Biggl( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Biggr)^+ = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^+ = \begin{pmatrix}
\tfrac12 & 0 \\ \tfrac12 & 0 \end{pmatrix} \quad \neq \quad \begin{pmatrix}
\tfrac14 & 0 \\ \tfrac14 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 \\ 0 & \tfrac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac12 & 0 \\ \tfrac12 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^+ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^+

投影
P = A A^\dagger 和 Q = A^\dagger A 是正交投影算子，即它们是埃尔米特矩阵（P = P^，Q = Q^）和幂等矩阵（P^2 = P，Q^2 = Q）。以下性质成立：

• PA = AQ = A ，A^\dagger P = QA^\dagger = A^\dagger
• 是正交投影算子，投影到 的值域（也就是 的核的正交补空间）。
• 是正交投影算子，投影到 的值域（也就是 的核的正交补空间）。
• (I - Q) = \left(I - A^\dagger A\right) 是正交投影算子，投影到 的核。
• (I - P) = \left(I - A A^\dagger \right) 是正交投影算子，投影到 的核。 A(BA)^\dagger = (BA)^\dagger这一条性质可以如此证明：定义矩阵 C = BA, D = A(BA)^\dagger，当 是埃尔米特矩阵和幂等矩阵时，通过验证伪逆的性质可以检查 确实是 的一个伪逆。从上一条性质可以看出，当 A \in \mathbb{k}^{n\times n} 是埃尔米特矩阵和幂等矩阵时，对于任意矩阵 B \in \mathbb{k}^{n\times m}

(AB)^\dagger A = (AB)^\dagger

当 是一个正交投影矩阵，则它的伪逆就是它自身，即 A^\dagger = A。

几何结构
如果我们把矩阵看作是一个在数域 \mathbb{k} 上的线性映射 {{tmath|A:\mathbb{k}^n \to \mathbb{k}^m}}， 那么 A^\dagger : \mathbb{k}^m \to \mathbb{k}^n 可以被分解如下。首先定义符号： 表示直和， 表示正交补， 表示映射的核， \operatorname{ran} 表示映射的像。注意 \mathbb{k}^n = \left(\ker A\right)^\perp \oplus \ker A 和 \mathbb{k}^m = \operatorname{ran} A \oplus \left(\operatorname{ran} A\right)^\perp。 限制条件 A: \left(\ker A\right)^\perp \to \operatorname{ran} A 则是一个同构。这意味着 在 {{tmath|\operatorname{ran} A}} 上时这个同构的逆，在 \left(\operatorname{ran} A\right)^\perp 上则是零。

换而言之，对于给定的 {{tmath|b\in \mathbb{k}^m}} 要找到 ，首先将 正交投影在 的值域中，找到点 ，然后构建 {{tmath|A^{-1}(\{p(b)\})}}，即就是在 {{tmath|\mathbb{k}^n}} 中，会被 投影到 的点。这是 {{tmath|\mathbb{k}^n}} 的一个平行于 的核的仿射子空间。这个子空间中长度最小的元素（也就是最靠近原点的元素），就是我们寻找的 的解。它可以通过从 {{tmath|A^{-1}(\{p(b)\})}} 中选择任意元素，并将其投影在 的核的正交补空间而得到。

以上描述与线性系统的最小范数解密切相关。

子空间
\begin{align}
\ker\left(A^+\right) &= \ker\left(A^*\right) \\
\operatorname{ran}\left(A^+\right) &= \operatorname{ran}\left(A^*\right)
\end{align}

极限
伪逆可以由极限定义：A^\dagger = \lim_{\delta \searrow 0} \left(A^ A + \delta I\right)^{-1} A^
= \lim_{\delta \searrow 0} A^ \left(A A^ + \delta I\right)^{-1}
（参见吉洪诺夫正则化）。当 \left(A A^\right)^{-1} 或 \left(A^A\right)^{-1}不存在时，这些极限仍然存在。

导数关系
实值伪逆矩阵的导数，该矩阵在某点处具有恒定的秩 可以用原矩阵的导数来计算：
\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} A^\dagger(x) =
-A^\dagger \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} A \right) A^\dagger ~+~
A^\dagger A^{\dagger\textsf{T}} \left(\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} A^\textsf{T}\right) \left(I - A A^\dagger\right) ~+~
\left(I - A^\dagger A\right) \left(\frac{\text{d}}{\text{d} x} A^\textsf{T}\right) A^{\dagger\textsf{T}} A^\dagger

例子
对于可逆矩阵，其广义逆为其一般的逆矩阵，所以以下仅举一些不可逆矩阵的例子。

• 对于A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}，其广义逆矩阵为A^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}（通常零矩阵的广义逆矩阵为其转置）。该广义逆矩阵的唯一性可以认为时由性质A^\dagger=A^\dagger AA^\dagger得出的，因为与零矩阵相乘总会得到零矩阵。
• 对于A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}，其广义逆矩阵为 A^\dagger = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}。

** 事实上，A\,A^\dagger = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}，所以 A\,A^\dagger A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = A。
** 类似的， A^\dagger A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}，由此 A^\dagger A\,A^\dagger = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A^\dagger。

• 对于A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}，其广义逆矩阵为A^\dagger = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}。
• 对于A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}，其广义逆矩阵为A^\dagger = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}。
• 对于A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}，其广义逆矩阵为A^\dagger = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}。
• 对于A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}，其广义逆矩阵为 A^\dagger = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} 。对于该矩阵，其左逆存在且等于A^\dagger，事实上，A^\dagger A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}。

参考
书籍
*

文献