在量子纠错中，CSS纠错码（，以其发明者Robert Calderbank、Peter Shor
和Andrew Steane的名字命名）是一种特殊的稳定子码（stabilizer code），它由具有某些特殊性质的经典纠错码构造而成。CSS码的一个例子是斯蒂恩码（Steane code）。
构造
设 C_1 和 C_2 为两个（经典）线性码，参数分别为 [n, k_1] 和 [n, k_2]，且满足 C_2 \subset C_1。此外，要求 C_1 和 C_2^\perp的最小距离（Minimum distance）都不小于 2t+1，其中C_2^\perp是C_2 的对偶码（Dual code）。则 C_1 基于 C_2 的CSS码，记作 \text{CSS}(C_1, C_2)，是一个参数为 [n, k_1 - k_2, d] 的量子纠错码，其最小距离 d \ge 2t+1。其构造方式如下：
对于 x \in C_1，定义态 |x + C_2\rangle := \frac{1}{\sqrt} \sum_{y \in C_2} |x+y\rangle，其中 + 表示按位模2加法。那么 \text{CSS}(C_1, C_2) 码空间就是由这些态构成的集合：\{ |x + C_2\rangle \mid x \in C_1 \}。
横向门 (Transversal Gates)
在量子纠错和容错量子计算的理论框架中，逻辑量子门的实现方式对抵抗物理错误至关重要。其中，横向操作 (transversal operation) 提供了一种结构简单且通常具有良好容错特性的实现方式。对于一个将 n 个物理量子比特编码为 k 个逻辑量子比特的量子纠错码，一个作用在 n 个物理量子比特上的幺正操作 U 被称为是横向的，如果它可以分解为作用在每个独立物理量子比特上的相同操作 u 的张量积，即 U = u^{\otimes n}；或者，对于涉及多个量子比特块的门（如 CNOT），该操作由作用在不同块中对应位置量子比特（对或组）上的相同基本操作构成。
一个物理操作 U 若能在码空间 \mathcal{G}（编码的逻辑量子比特所在的状态子空间）上实现一个逻辑门 U_L，其必须保持码空间不变，即 U\mathcal{G} = \mathcal{G}。对于稳定子码，其码空间 \mathcal{G} 是其稳定子群（stabilizer group） S 所有元素的共同+1特征子空间（\mathcal{G} = \left\{ |\psi\rangle \in \mathcal{H} \mid s |\psi\rangle = |\psi\rangle, \forall s \in S \right\}）。在此情况下，幺正操作 U 保持码空间不变的充分必要条件是 U 将稳定子群 S 整体映射到自身，即满足 USU^\dagger = S。这意味着对于任意稳定子 s \in S，其变换后的算子 UsU^\dagger 必须仍然是 S 中的一个（可能不同的）稳定子。 CSS 码作为一类重要的稳定子码，其结构使得某些基础量子门具备横向实现。
泡利门 (Pauli Gates)
对于任何稳定子码，逻辑泡利算子（X_L, Y_L, Z_L）总能通过相应的横向物理泡利操作实现。这是因为逻辑泡利算子被定义为稳定子群 S 在 n-量子比特泡利群 P_n 中的正规化子 N(S) 内的非平凡元素（模去 S 本身与全局相位）。而 P_n 中的所有元素（即泡利串）按其定义（单比特泡利门或单位门的张量积）都是横向操作。 通用性要求门集中至少包含一个非克利福德门。该定理意味着，对于包括斯蒂恩码、表面码等在内的许多重要量子纠错码，非克利福德门（如实现通用计算所需的 T 门，也称 \pi/8 门）不能简单地通过横向操作实现。要容错地实现这些关键的非克利福德门，必须采用如魔术态蒸馏 (magic state distillation) 等更为复杂的策略。
参考文献
延伸阅读
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外部链接
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