矩阵差分方程

矩阵差分方程是一种差分方程，其中某时刻的变量向量（或矩阵）与之前时刻的值通过矩阵相关。方程的阶是变量向量任意两个指示值之间的最大时差。例如

:\mathbf x_t = \mathbf{Ax}_{t-1} + \mathbf{Bx}_{t-2}

是二阶矩阵差分方程，其中是变量向量，、是矩阵。该方程齐次，因为方程末尾没有常数项向量。同一个方程也可写成

:\mathbf x_{t+2} = \mathbf{Ax}_{t+1} + \mathbf{Bx}_{t}

或

:\mathbf x_n = \mathbf{Ax}_{n-1} + \mathbf{Bx}_{n-2}

最常见的矩阵差分方程都是一阶的。

非齐次一阶情形及稳态
非齐次一阶矩阵差分方程如：
:\mathbf x_t = \mathbf{Ax}_{t-1} + \mathbf{b}

与一个加性常向量。该系统的稳态是向量的值，一旦达到就不会偏离。可通过置、解以得

: \mathbf{x}^* = [\mathbf{I}-\mathbf{A}]^{-1}\mathbf{b}

其中是单位矩阵，假定可逆。非齐次方程可用偏离稳态的齐次方程重写：

: \left[\mathbf{x}_t - \mathbf{x}^\right] = \mathbf{A}\left[\mathbf{x}_{t-1}-\mathbf{x}^\right]

一阶情形的稳定性
一阶矩阵差分方程是稳定的，即当且仅当转移矩阵的所有特征值（无论实复）绝对值都小于1时，才逐渐收敛到稳态。

解一阶情形
假定方程齐次形式为，然后可从初始条件开始迭代。是的初值，必须得知才能求解：

:\begin{align}
\mathbf y_1 &= \mathbf{Ay}_0 \\
\mathbf y_2 &= \mathbf{Ay}_1=\mathbf A^2 \mathbf y_0 \\
\mathbf y_3 &= \mathbf{Ay}_2=\mathbf A^3 \mathbf y_0
\end{align}

以此类推，由数学归纳法，用表示的解为

:\mathbf y_t=\mathbf A^t \mathbf y_0

此外，若可对角化，就可用它的特征值和特征向量重写，得到解

:\mathbf y_t = \mathbf{PD}^{t}\mathbf{P}^{-1} \mathbf y_0,

其中是矩阵，列是的特征向量（假设特征值互异）；是对角矩阵，对角元是的特征值。这个解就是上述稳定性结果的依据：当且仅当的特征值绝对值都小于1，才会随时间收缩到零矩阵。

从一阶矩阵系统中提取单一标量变量的动力特性
从维系统开始，可以提取其中一个状态变量（如）的动态变化。上述的求解方程表明，的解是根据的个特征值求得的。因此，描述变化的方程本身必须有涉及特征值的解。这种描述直观地产生了的演化方程，即

: y_{1,t} = a_1 y_{1,t-1} + a_2 y_{1,t-2} + \dots + a_n y_{1,t-n}

其中参数来自的特征方程式：

:\lambda^{n} - a_1 \lambda^{n-1} - a_2 \lambda^{n-2} - \dots - a_n \lambda^{0} = 0.

因此，维一阶线性系统中的每个标量变量都根据一元阶差分方程演化，与矩阵差分防尘具有相同的稳定性。

高阶情形的解与稳定性
可用分块矩阵将高阶矩阵差分方程转换到一阶，可以求解时滞超过一个周期的高阶方程，并分析其稳定性。例如，假设有二阶方程

:\mathbf x_t = \mathbf{Ax}_{t-1} + \mathbf{Bx}_{t-2}

变量向量尺寸为，、尺寸为。则可以叠加为下列形式

:\begin{bmatrix}\mathbf{x}_t \\ \mathbf{x}_{t-1} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{t-1} \\ \mathbf{x}_{t-2} \end{bmatrix}

其中是单位矩阵，是零矩阵。然后将当前变量和一度滞后变量的叠加向量表示为，将分块矩阵表示为，就得到了之前的解

:\mathbf z_t = \mathbf L^t \mathbf z_0

与之前一样，当且仅当矩阵的所有特征值的绝对值都小于1时，叠加方程与原二阶方程才稳定。

非线性矩阵差分方程：黎卡提方程
在LQG控制中，会出现一个当前和未来成本矩阵反向演化的非线性矩阵方程，下面用表示。这个方程也被称为离散动力黎卡提方程，当据线性矩阵差分方程演化的变量向量受外源向量的控制，以优化二次损失函数时，就会产生这个方程。黎卡提方程形式如下：

: \mathbf{H}_{t-1} = \mathbf{K} +\mathbf{A}'\mathbf{H}_t\mathbf{A} - \mathbf{A}'\mathbf{H}_t\mathbf{C}\left[\mathbf{C}'\mathbf{H}_t\mathbf{C}+\mathbf{R}\right]^{-1}\mathbf{C}'\mathbf{H}_t\mathbf{A}

其中、、尺寸为；尺寸为；尺寸为，是受控向量元素数，是控制向量元素数。参数矩阵、来自线性方程，参数矩阵、来自二次损失函数。详见此处。

一般来说，该方程无法根据分析求解，而是通过迭代黎卡提方程，求出的值序列。不过，已经证明，若、，则可将黎卡提方程简化为标量有理差分方程分析求解；对任意、，若转移矩阵可逆，则黎卡提方程就可根据矩阵特征值进行分析求解，尽管特征值可能要用数值计算才能找到。

在大多数情况下，随时间的演化是稳定的，也就是说会收敛到特定的常矩阵，其他矩阵都有理时也可能是无理的。参见隨機控制#離散時間系統。

评论 (0)