线性代数中，一個矩阵如果符合下列條件的話，我們稱之為-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵或-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-梯形式矩阵（）：
- 若某-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-有个非零元素，則必在任何全零-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-之上。
- 某-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-最左边的（即第一個）非零元素稱為首项系数（）。某列的首项系数必定比上一列的首项系数更靠右（某些版本會要求非零-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-的首项系数必須是1）。
因為首项系数要不是最靠右的，要不就是左邊都是零，所以根據上面二點，在首项系数所在的-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-中，在首项系数下面的元素都會是零。
这个3×4矩阵是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵：
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & a_1 & a_2 & b_1 \\
0 & 2 & a_3 & b_2 \\
0 & 0 & 1 & b_3
\end{array} \right]
有時候，增廣矩陣右邊的直線也會省略。
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & a_1 & a_2 & b_1 \\
0 & 2 & a_3 & b_2 \\
0 & 0 & 1 & b_3
\end{array} \right]
简化-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵
简化-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵或簡約-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-梯形式矩陣（），也称作-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-规范形矩阵（），如果满足额外的条件：
- 每个首项系数是1，且是其所在-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-的唯一的非零元素。例如：
\left[ \begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & a_1 & 0 & b_1 \\
0 & 1 & a_2 & 0 & b_2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & b_3
\end{array} \right]
这并不意味着简化-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如，如下的矩阵是简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵：
\left[ \begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1/2 & 0 & b_1 \\
0 & 1 & -1/3 & 0 & b_2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & b_3
\end{array} \right]
因为第3-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-并不包含任何-{zh-hans:列; zh-hant:列;}-的首项系数。
矩阵变换到-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵
通过有限步的列;}-初等变换，任何矩阵可以变换为-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵。由于-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-初等变换保持了矩阵的列;}-空间，因此-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵的-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-空间与变换前的原矩阵的-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-空间相同。
-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵的结果并不是唯一的。例如，-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵乘以一个标量系数仍然是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵。但是，可以证明一个矩阵的简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵是唯一的。
线性方程组
如果一个线性方程组的增广矩阵是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵，則其係數矩陣也是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵。类似的，如果一个线性方程组的增广矩阵是简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵，則其係數矩陣也是简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵。
一些示例
定义：
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & a_1 & a_2 & a_3 \\
0 & 1 & a_4 & a_5 \\
0 & 0 & 1 & a_6
\end{array} \right]
例子：
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 8 & 9 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & -6 & 33 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right]
错误示例：
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & -8 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 1 & 26
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -29 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
1 & 6 & 7 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right]
注：
- 矩阵1：第二-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-的第一非零项1的下方的-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-项不全为零（有非零项4），见定义第二条，所以不是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯型矩阵。
- 矩阵2：全为零的-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-应该在非全为零-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-的下方，见定义第三条，所以不是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯型矩阵。
- 矩阵3：k+1-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-比k-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-的第一个非零项之前的0少，见定义第三条，所以不是-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯型矩阵。
简化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵的例子：
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{ccccc|c}
1 & 9 & 0 & 5 & 0 & 17 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 32 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array} \right]
参见
*高斯消元法
*高斯-若爾當消元法
*初等变换
参考来源
*[https://web.archive.org/web/20120928023406/http://www.pyrtvu.cn/jinjishuxue/lesson/ch09/0903.html 矩阵的初等行变换、阶梯形矩阵与矩阵的秩]
*[http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/RREF.html Interactive Row Echelon Form with rational output]
Lineares Gleichungssystem#Stufenform, Treppenform
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