在数学尤其是抽象代数中，群的换位子群或导群，另名交换子群，意指该群所有换位子所生成的子群，记作 [G,G]、G' 或 G^{(1)} 。任意给定群均对应一个确定的换位子群。作为群 G 的正规子群，换位子群 G' 是使得 G 对它的商群 G/G' 交换的最小正规子群。换言之，换位子群表征群 G 的可交换程度，根据换位子的定义 [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}, x 与 y 交换，即 xy=yx, 当且仅当 [x,y]=e, 即，群内可交换的元素越多，换位子就越少，换位子群也就越小。显然，交换群的换位子群为平凡群\{e\}.

换位子
对群元 g,\,h\in G, g 与 h 的换位子为 [g,\,h]=g^{-1}h^{-1}gh. 换位子 [g,\,h] 等价于群幺 e 当且仅当 gh=hg, 即二者交换。一般情况下，显然有 gh=hg[g,\,h].

该记号的顺序任定，有下述不同的定义方式，此时换位子将左乘，而非右乘二者的積：

: [g,\,h]=ghg^{-1}h^{-1},

此时有 gh=[g,\,h]hg 而非 gh=hg[g,\,h].

对 g 和 h 来说，群 G 中形如 [g,\,h] 的元即称其换位子。幺 e=[e,\,e] 恒为换位子。群 G 交换当且仅当其换位子群平凡，即 G'=\{e\}.

下例对群 G 元 s,\,g,\,h 成立：

[g,\,h]^{-1}=[h,\,g];

[g,\,h]^s=[g^s,\,h^s]，其中 g^s := s^{-1}gs 意指 g 关于 s 的共轭；

由群同态保持：

#:\begin{align}
f\colon\, & G \to H,\\
& [g,\,h] \mapsto [f(g),\,f(h)].
\end{align}
前两者蕴含 G 的换位子集对交换与共轭封闭。对第三条取 H=G, 即知换位子集稳定于 G 的任意自同态，这正是第二条的一般情况，只需取 f 作 G 的共轭自同构：

: \begin{align}
f\colon\,&G\to G\\
&x\mapsto x^s:=s^{-1}xs,
\end{align}

即得第二条。

换位子的积未必是换位子。典例是由 a,\,b,\,c,\,d 生成的自由群内的 [a,\,b][c,\,d]. 已知存在两换位子其积非换位子的最小有限群，阶数为 96，在同构意义上有两种如此的 96 阶群。

定义
给定群 G，其换位子群 [G,G]（或称导群，记 G' 或 G^{(1)}） 是 G 的所有换位子所生成的子群：
:[G,G] = \{ g^{-1}h^{-1}gh \,\colon \, g, h \in G \}.
由定义知，任意 [G,\,G] 的元有形式
:\prod_{i=1}^n[g_i,\,h_i]=[g_1,\,h_1]\cdots[g_n,\,h_n],\,n\in\mathbb{N}_+,\,\forall i,\,g_i,\,h_i\in G.
此外由
:\left(\prod_i[g_i,\,h_i]\right)^s=\prod_i[g_i^s,\,h_i^s]
知换位子群亦对 G 正规。对任意同态 f\colon\,G\to H，
:f\colon\,\prod_i[a_i,\,b_i]\mapsto\prod_i[f(a_i),\,f(b_i)]=[f(a_1),\,f(b_1)]\cdots[f(a_n),\,f(b_n)],
故而 f([G,\,G])\subseteq [H,\,H].

这表明换位子群可视作群范畴 \mathsf{Grp} 的函子，其部分含义将于下文探讨。此外倘取 G=H, 知换位子群于 G 的任意自同态下稳定：换言之，[G,\,G] 为 G 的，这一性质远强于正规性。

换位子群亦定义作 G 的子集
:\left\{\left.\prod_{i\in I} g_i\right|\,\exists \varphi\colon I\leftrightarrow I,\,
\prod_{i\in I}g_{\varphi(i)}=e_G,\,\forall i,\,g_i\in G,\,I\subset\mathbb{N}\right\},
即那些存在某种重排使得结果为幺的群元乘积构成的集合。

导集序列
导集能够迭代构造：
:G^{(0)}:=G
:G^{(n)}:=\left[G^{(n-1)},\,G^{(n-1)}\right],\quad n\in\mathbb{N}.
群 G^{(i)},i=2,\,3,\,\dots 依次称 n 阶导群。下降正规序列
:\cdots\triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G
即称导出序列。

对有限群而言，导出序列终止于完满群，其平凡与否皆有可能。而对于无限群，其导出序列不必终止于有限步，而可能以超限递归至持续无穷序数步，继而得到超限导出序列，其最终终止于群的完美核。

Abel 化
给定群 G, 商群 G/N 交换当且仅当 [G,\,G]\subset N.

商群 G/[G,\,G] 交换，称 G 的 Abel 化，常记作 G^{\mathrm{ab}} 或 G_{\mathrm{ab}}.

有范畴方向的实用诠释，映射 \varphi\colon\,G\to G^\mathrm{ab}. 换言之， \varphi 泛于任意从 G 到 Abel 群 H 的同态，或称任意从 G 到 Abel 群 G 的同态均可经由 \varphi 唯一分解：对任意 Abel 群 H 与群同态 f\colon\, G\to H, 存在唯一同态 F\colon\, G^{\rm ab}\to H 使得 f=F\circ\varphi. 正如由泛映射定义的对象通常所具的特点般，这表征 Abel 化子群 G^{\rm ab} 在典范同构意义下的唯一性，而显示构造的 G\to G/[G,\,G] 表征其存在性。

Abel 化函子是从 Abel 群范畴 \mathsf{AbGrp} 到群范畴 \mathsf{Grp} 的包含函子的左伴随。Abel 化函子 \mathsf{AbGrp}\to\mathsf{Grp} 的存在性令范畴 \mathsf{AbGrp} 拥有群范畴的，定义为其包含函子拥有左伴随的全子范畴。

G^{\rm ab} 另有一重要释义 H_1(G,\,\mathbb{Z}), 群 G 的整系数一阶同调群。

相关的群
群 G 交换当且仅当其导群平凡：[G,\,G]=\{e\}, 或等价地说，当且仅当其等于自身的 Abel 化。关于 Abel 化，定义见前述。

群 G 完满当且仅当其导群等于自身：[G,\,G]=G，或等价地说，当且仅当其 Abel 化平凡。这“相反”于阿贝尔群。

满足 \exists n\in\mathbb N,\,G^{(n)}=\{e\} 的群称可解群，这一条件宽于交换，亦即取 n=1 的情形。

满足 \forall n\in\mathbb N,\, G^{(n)}\ne \{e\} 的群称非可解群。

对序数 \alpha 满足 G^{(\alpha)}=\{e\} 的群称亚阿贝尔群，这一条件宽于可解，亦即取 \alpha 的情形。

完满群
若群 G 的导群等于自身，即 G^{(1)}=G, 称该群完满群，包含非交换单群及不动域 \mathbb k 上的特殊线性群 \operatorname{SL}_n(\mathbb k).

例子
*任意 Abel 群的换位子群均平凡。
*域或除环 \mathbb k 上的一般线性群 \operatorname{GL}_n(\mathbb k) 的换位子群等于特殊线性群 \operatorname{SL}_n(\mathbb k), 若 n\ne2, 或 \mathbb k 不是拥有两个元素的域。
*4 次交错群 A_4 的换位子群即 Klein 四元群 V_4。
*n 次对称群 S_n 的换位子群即 n 次交错群 A_n。
*四元群 Q=\{1,\,-1,\,{\rm i},\,{\rm -i},\,{\rm j},\,{\rm -j},\,{\rm k},\,{\rm -k}\} 的换位子群为 \{1,\,-1\}。

从 \operatorname{Out} 出发的映射
由于导群是，任意 G 上的自同构均诱导其 Abel 化子群上的自同构。由于 Abel 化子群本身是 Abel 群，内自同构平凡，从而得到映射
:\operatorname{Out}G\to \operatorname{Aut}G^{\rm ab}.

参见
*群
*换位子
*正规子群
*可解群
*Galois 理论