在数学特别是抽象代数中，同餘关系或简称同餘是相容于某个代数运算的等价关系。
模算术
元型例子是模算术：对于一个正整数n，如果a − b整除于n（还有一个等价的条件是它们除以n得出同样的餘数），则两个整数a和b被称为*同餘模n**。
例如，5和11同餘模3：
:11 ≡ 5 (mod 3)
因为11 − 5得出6，它整除于3。或者等价的说，这两个数除以3得到相同的餘数：
:11 = 3×3 + 2
:5 = 1×3 + 2
如果a_1 \equiv b_1 \pmod n并且a_2 \equiv b_2 \pmod n，则a_1+a_2 \equiv b_1+b_2 \pmod n并且a_1a_2 \equiv b_1b_2 \pmod n。这把同餘(mod n)变成了在所有整数的环上的一个等价。
线性代数
两个实数矩阵A和B被称为合同的，如果存在可逆实数矩阵P使得
: P^\top A P = B 。
对称矩阵有实数特征值。对称矩阵的“惯性”是由正特征值的数目、零特征值的数目和负特征值的数目组成的三元组。Sylvester惯性定律声称两个对称实数矩阵是合同的，当且仅当它们有相同的惯性。所以，全等变换可以改变矩阵的特征值但不能改变特征值的符号。
对于复数矩阵，必须区分“T合同”（A和B是T合同，如果有可逆矩阵P使得PTAP = B）和“合同”（A和B是合同，如果有可逆矩阵P使得P*AP = B）。
泛代数
想法是推广到泛代数中：代数A上的同餘关系是直积A×A的子集，它既是在A上的等价关系又是A×A的子代数。
同态的核总是同餘。实际上，所有同餘引起自核。对于给定在A上的同餘~，等价类的集合A/~可以自然的方式给出自代数的结构商代数。映射所有A的元素到它的等价类的函数是同态，这个同态的核是~。
在一个代数上的所有同餘关系的格是代数格。
群的同餘、正规子群和理想
在群的特殊情况下，同餘关系可以用基本术语描述为：如果G是群（带有单位元e）并且~是在G上的二元关系，则~是同餘只要：
#给定G的任何元素a，a ~ a（自反关系）。
#给定G任何的元素a和b，如果a ~ b，则b ~ a（对称关系）。
#给定G的任何元素a,b和c，如果a ~ b 并且b ~ c，则a ~ c（传递关系）。
#给定G的任何元素a,a,b和b' ，如果a ~ a' 并且b ~ b' ，则a b ~ a' b' *。
#给定G的任何元素a和a' ，如果a ~ a' ，则a−1 ~ a' −1（这个条件可以从其他四个条件证明，所以严格上是冗餘的）。
条件1, 2和3声称~是等价关系。
同餘~完全确定自G的同餘于单位元的那些元素的集合{a ∈ G : a ~ e}，而这个集合是正规子群。特别是，a ~ b当且仅当b−1 a ~ e。所以替代谈论在群上同餘，人们通常以正规子群的方式谈论它们；事实上，所有同餘都唯一的对应于G*的某个正规子群。
环理想和一般情况的核
类似的技巧允许谈论环中的核为理想来替代同餘关系，在模理论中为子模来替代同餘关系。
这个技巧不适用于幺半群，所以同餘关系的研究在幺半群理论扮演更中心的角色。
参见
- 合同
- 等價關係
*模
*模算數
引用
- Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.（Section 4.5 discusses congruency of matrices.）
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