算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式，簡稱算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设x_1,x_2, \ldots, x_n为n个非負实数，它们的算术平均数是\mathbf{A}_n = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}，它们的几何平均数是\mathbf{G}_n = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}。算术-几何平均值不等式表明，对任意的非负实数x_1, \ldots, x_n：
\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n

等号成立当且仅当x_1 = x_2 = \cdots = x_n。

通常用于两个数之间，设这两个数为a和b，也就是\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}

算术-几何平均值不等式仅适用于非負实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式（或均值不等式），其實后者是一组更廣泛的不等式。

例子
在n=4的情况，设：x_1 = 3.5,\ x_2 =6.2 ,\ x_3 = 8.4, \ x_4 = 5，那么
:\mathbf{A}_4= \frac{3.5 + 6.2 + 8.4 + 5}{4} = 5.775, \ \mathbf{G}_4 = \sqrt[4]{3.5 \times 6.2 \times 8.4 \times 5} \approx 5.4945
可见\mathbf{A}_4 \ge \mathbf{G}_4 。

历史上的证明
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。n=2的情况很早就为人所知，但对于一般的n，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明
1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出一个使用逆向归纳法的证明：

命题P_n：对任意的n个正实数x_1, \ldots, x_n，\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n

当n=2时，P_2显然成立。假设P_n成立，那么P_{2n}成立。证明：对于2n个正实数x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_n ，
:
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + y_1 + \cdots y_n}{2n} = \ \frac{1}{2} \left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} + \frac{y_1 + \cdots + y_n}{n} \right)
: \ge \ \frac{1}{2} \left( \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} + \sqrt[n]{y_1 \cdot y_2 \cdots y_n} \right)
\ge \ \sqrt{ \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \cdot \sqrt[n]{y_1 \cdot y_2 \cdots y_n} }
: = \ \sqrt[2n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n y_1 \cdot y_2 \cdots y_n}

假设P_n成立，那么P_{n-1}成立。证明：对于n-1个正实数x_1, \cdots, x_{n-1} ，设\mathbf{A}_{n-1}= \frac{x_1 + \cdots + x_{n-1} }{n-1}， \mathbf{G}_{n-1} = \sqrt[n-1]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1} }，那么由于P_n成立，\frac{x_1 + \cdots + x_{n-1} + \mathbf{A}_{n-1}}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1} \mathbf{A}_{n-1} }。

但是x_1 + \cdots + x_{n-1} = (n-1)\mathbf{A}_{n-1}，x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n-1} = \mathbf{G}^{n-1}_{n-1}，因此上式正好变成
: \mathbf{A}_{n-1}^n \ge \mathbf{G}^{n-1}_{n-1} \mathbf{A}_{n-1}
也就是说\mathbf{A}_{n-1} \ge \mathbf{G}_{n-1}

综上可以得到结论：对任意的自然数n \ge 2，命题P_n都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数k，命题P_{2^k}都成立。因此对任意的n \ge 2，可以先找k使得2^k \ge n，再结合第三条就可以得到命题P_{n}成立了。

归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有（George Chrystal）在其著作《代数论》（Algebra）的第二卷中给出的：

由对称性不妨设x_{n+1}是x_1, x_2 \cdots x_{n+1}中最大的，由于\mathbf{A}_{n+1} = \frac{n\mathbf{A}_n + x_{n+1}}{n+1}，设x_{n+1} = \mathbf{A}_n + b，则b \ge 0，并且有\mathbf{A}_{n+1} = \mathbf{A}_n +\frac{b}{n+1} 。

根据二项式定理，
: \mathbf{A}^{n+1}_{n+1} = (\mathbf{A}_n +\frac{b}{n+1})^{n+1} \ge \mathbf{A}^{n+1}_{n} + (n+1)\mathbf{A}^{n}_{n} \frac{b}{n+1} = \mathbf{A}^{n}_{n}(\mathbf{A}_{n} + b ) = \mathbf{A}^{n}_{n}x_{n+1} \ge \mathbf{G}^{n}_{n}x_{n+1}
: = x_1 x_2 \cdots x_{n+1} = \mathbf{G}^{n+1}_{n+1}

于是完成了从n到n+1的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明：

在n的情况下有不等式\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n和x_{n+1} + (n-1)\mathbf{G}_{n+1} \ge n \sqrt[n]{ x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1} }成立，于是：
: \frac{ x_1 + x_2 \cdots +x_n + x_{n+1} + (n-1)\mathbf{G}_{n+1} }{n} \ge \mathbf{G}_n + \sqrt[n]{ x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1}} \ge 2 \sqrt[2n]{\mathbf{G}^{n}_{n} x_{n+1} \mathbf{G}^{n-1}_{n+1}}= 2\mathbf{G}_{n+1}
所以(n+1)\mathbf{A}_{n+1} = x_1 + x_2 \cdots +x_n + x_{n+1} \ge 2n \mathbf{G}_{n+1} - (n-1)\mathbf{G}_{n+1} = (n+1)\mathbf{G}_{n+1}，从而有\mathbf{A}_{n+1} \ge \mathbf{G}_{n+1}。

基于琴生不等式的证明
注意到几何平均数 \mathbf{G}_n实际上等于\exp \left( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} \right)，因此算术-几何平均不等式等价于：
: \ln { \frac{ x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} } \ge \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n}。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

基于排序不等式的证明
令b_i = \frac {{{\mathbf{G}}_n }}(i=1,2,3,...,n)，于是有b_1 b_2 \cdots b_n=1，再作代换b_1 = \frac,b_2 = \frac,\cdots,b_n = \frac，运用排序不等式得到：
: \frac + \frac + \cdots + \frac \geqslant \frac + \frac + ... + \frac = n，
于是得到a_1 + a_2 + \cdots + a_n \geqslant n{\mathbf{G}}_n ，即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设x_1, \cdots, x_n 和p_1, \cdots, p_n 为正实数，并且p_1 + p_2 \cdots + p_n =1 ，那么：
: p_1 x_1 +p_2 x_2 \cdots + p_n x_n \ge x^{p_1}_1 x^{p_2}_2 \cdots x^{p_n}_n 。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：
对于系数都是正实数的矩阵
\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1k} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nk}
\end{bmatrix}

设A_{j} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_{ij}， G_{i}=\sqrt[k]{\prod_{j=1}^k a_{ij} }，那么有：
: \sqrt[k]{A_1 A_2 \cdots A_k} \leqslant \frac{G_1 + G_2 + \cdots + G_n}{n}
也就是说：对k个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对n个横行取的n个几何平均数的算术平均。

极限形式
也称为积分形式：对任意在区间[0,1]上可积的正值函数f，都有
\int_{0}^{1} f(x) dx \ge \exp (\int_{0}^{1} \ln f(x) dx )
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成\frac{ x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} \ge \exp ( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} )后，将两边的黎曼和中的n趋于无穷大后得到的形式。

算術-幾何-調和平均值不等式
若再規定x_1,x_2, \ldots, x_n的调和平均数H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}.

則有
\mathbf{A}_n \ge \mathbf{G}_n \ge \mathbf{H}_n
且等号依舊成立当且仅当x_1 = x_2 = \cdots = x_n。

證明由算術-幾何平均值不等式知

\frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}{n} \ge \sqrt[n]{\frac{1}{x_1} \frac{1}{x_2} \cdots \frac{1}{x_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}}

故

\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \ge \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}

即

\mathbf{G}_n \ge \mathbf{H}_n

且等號成立於

\frac{1}{x_1}= \frac{1}{x_2}= \cdots= \frac{1}{x_n}

即

x_1=x_2=\cdots =x_n

参见
*平均数不等式
*算术平均数
*几何平均数
*幂平均不等式
*杨氏不等式

参考来源
*匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
*李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
*莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
*李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。