么半範疇

張量範疇（tensor category），或曰幺半範疇（monoidal category）， 直覺地講，是個配上張量積的阿貝爾範疇（abelian category），可當作環的範疇化。

定義
數學中，一個張量範疇（tensor category，或稱幺半範疇 monoidal category）是一個包含單一個對象的雙範疇）bicategory）。
更具體的描述：一個張量範疇是
*一個範疇 \mathbb C;
*被賦予張量積，即一個二元函子
:\otimes: \mathbb C\times\mathbb C\to\mathbb C;
*被賦予一個單位對象 I;
*被賦予三組自然同構映射：
**結合子\alpha: \alpha_{A,B,C}: (A\otimes B)\otimes C \to A\otimes(B\otimes C);
**左/右單位子: 自然同構映射 \lambda, \rho:
:\lambda_A: I\otimes A\to A,
:\rho_A: A\otimes I\to A;

• 滿足以下相容條件:

:每A, B, C, D \in \mathbb C,
:
:和
:
:都交換.///

在這以上兩道相容條件下，任何以結合子,左右單位子和張量積組成的圖表都交換，因為
Mac Lane 凝聚定理(Mac Lane's coherence theorem):
*每個幺半範疇都 幺半等價(monoidally equivalent) 於一嚴格幺半範疇（見下）.

嚴格幺半範疇
嚴格幺半範疇(strict monoidal category)
是個幺半範疇 ，其自然態射 \alpha, \lambda 和 \rho 都是恆等影射.

取任一 範疇 \mathbb C, 我们可構築其 自由嚴格幺半範疇
\Sigma(\mathbb C):
*對象：其每一對象是一串由\mathbb C裡面的對象組成之有限序列 (A_1,\ldots, A_n)；
* 態射：當且僅當n=m時，我们在二個對象 (A_1,\ldots, A_n) 和 (B_1,\ldots, B_m) 之間定義 態射:每 \Sigma(\mathbb C)-態射 是一串由 \mathbb C-態射組成的有限序列 (f_1:A_1\to B_1, \ldots, f_n:A_n\to B_n) ；
*張量積： 二個\Sigma(\mathbb C)-對象(A_1,\ldots, A_n) 及 (B_1,\ldots, B_m)之張量積， 我们定義為 此二有限序列之串接(concatenation) (A_1,\ldots, A_n, B_1,\ldots, B_m) ； 同樣地任何二 \Sigma(\mathbb C)-態射之張量積， 我们定義為其串接。

按：此算符 \Sigma ，向由任一 範疇 \mathbb C 配上 \Sigma(\mathbb C)，可推廣到 \textbf{Cat}上的嚴格-2-單子 （strict 2-monad）。

例
取任一範疇，若以其平常範疇積作張量積，以其終對象作單位對象，則成為一個張量範疇。
亦可取任一範疇，以其餘積（co-product）作張量積，以其始對象作單位對象，亦成一個張量範疇。
（此二例實為對稱么半範疇結構。）
但亦有許多張量範疇（例如：R-Mod，如下），其張量積 既非 範疇積 亦非 範疇餘積。

以下舉張量範疇二例——向量空間範疇和集合範疇——並表明其類比：

相關的結構

• 很多張量範疇更進一步有 辮, 交換態射 or 封閉等结構. 詳見下述參考。
• 為二張量範疇（-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半範疇）間、保存張量積結構之函子； 么半態射為二-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半函子間之態射（自然變換 (natural transformations)）。

*一般么半群之概念可推廣成-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半範疇中的。尤其者，可視一嚴格-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半範疇作 範疇之「範疇」 Cat中的-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半對象（並以卡氏積為-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半結構）。

• 上有界交半格 構成一嚴格對稱-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-半範疇：其積為交，而單位元則為頂。

應用
*-{zh-hans:幺;zh-hk:幺;zh-tw:幺;}-半範疇被用以定義直覺主義線性邏輯的積性部分模型。它們也是凝態物理中拓撲序的數學基礎。
*張量範疇是二維保角場論和拓撲量子場論之代數框架.

參考

• Mac Lane, Saunders (1963). "Natural Associativity and Commutativity". Rice University Studies 49, 28–46.
• Kelly, G. Max (1964). "On MacLane's Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc." Journal of Algebra 1, 397–402
• Joyal, André; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics 102, 20–78.
• Mac Lane, Saunders (1997), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.

*Baez, John, [http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2001/definitions.pdf Definitions]
*[http://eom.springer.de/b/b120420.htm : >, >,Springer On-line Reference Works]