茶年 · 中文维基百科

广群

Wikipedia · 2026-01-20 维基百科 👁 0 阅读

在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，广群（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为：
*以偏函数取代二元运算的群；
*所有态射都可逆的范畴。这一类范畴可被视作增加了一种一元运算，与群论中的逆元相对应。 只有一个对象的广群一般是群。

在存在依赖类型的情况下，一般来说，一个范畴可视作是类型化的幺半群；广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族，于是态射可以是类型化的g:A \rightarrow B、h:B \rightarrow C。于是组合是全函数：\circ : (B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow A \rightarrow C ，于是h \circ g : A \rightarrow C 。

广群的特例包括：
*集合体（Setoid），即带有等价关系的集合；
G-集合，即带有G* 的作用的集合。

广群常用于研究流形等几何物体。广群最先由海因里希·勃兰特于1927年引入，其思想暗含在勃兰特半群的概念中。

定义
广群指的是代数结构(G,\ast)，包含非空集G与定义在G上的二元偏函数'\ast'。

代数定义
广群是具备一元运算{}^{-1}:G\to G,与偏函数:G\times G \rightharpoonup G的集合G，当中的不是二元运算，因为其不一定定义在G中所有的元素对上。这里不阐述定义*的确切条件，这些条件因情况而异。

运算*、−1有以下公理性质：\forall a,\ b,\ c\in G：

结合律：若定义了ab,\ bc，则(a b) c=a (b c)。

逆元：a^{-1} a、a{a^{-1}}总有定义。

单位元：若定义了ab，则ab{b^{-1}} = a;\ {a^{-1}} a * b = b。（由前两条性质可推知。）

从中可得到两个简单方便的性质：

  • (a^{-1})^{-1} = a；
  • 若定义了ab，则(ab)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}。

范畴论定义
广群是小范畴，其中每个态射都可逆，即是同构。
同样，给点广群B的覆盖态射范畴，等同于广群B对对集合的作用范畴。

例子
拓扑
给定拓扑空间X，令G_0为集合X。从点p到点q的态射是p到q的连续路径的等价类，若两条路径同伦，就称它们等价。
先沿第一条路径，再沿第二条路径，两个这样的态射便组合到一起；同伦等价性保证这种组符合结合律。这样的广群称作X的基本广群，记作\pi_1(X)（有时是\Pi_1(X)）。通常的基本群\pi_1(X,x)于是就是点x的顶点群。

基本广群\pi_1(X)的轨道是X的路径连通成分。相应地，路径连通空间的基本广群是传递的，我们恢复了已知的事实，即任意基点上的基本群是同构的。此外，基本广群和基本群这时作为范畴是等价的（一般理论见下文）。

这一思想的重要推广是考虑基本广群\pi_1(X,A)，其中A\subset X是选定的基点集合。当中\pi_1(X,A)是\pi_1(X)的（宽）子广群，这里只考虑端点属于A的路径。集合A可据当前情况的几何形状来选择。

等价关系
若X是集合体，即具有等价关系\sim的集合，则“表示”这等价关系的广群可由如下构成：

  • 广群对象是X的元素；
  • \forall x,\ y\in X,有单态射(y,x):\ x\to y，当且仅当x\sim y；

*(z,y)与(y,x)的组合是(z,x)。
这个广群的顶点群总是平凡的；此外，这个广群一般不传递，其轨道正是等价类。有两个极端例子：

  • X每个元素若都与X的其他元素有联系，则就得到了X的对广群，其以整个X \times X作为箭头集，且是传递的。
  • X每个元素若只与自身有关系，就得到了单位广群，其以X为箭头集，s = t = id_X，是完全不传递的（每个单子\{x\}都是轨道）。

例子
若f: X_0 \to Y是光滑流形的光滑满射浸没，则X_0\times_YX_0 \subset X_0\times X_0是等价关系是一类特殊的广群，与某个流形X*的开覆盖\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I}所给出的等价关系相关联。其对象由不交并
\mathcal{G}_0 = \coprod U_i

给出，其箭头是相交
\mathcal{G}_1 = \coprod U_{ij}.

源映射与目标映射由诱导映射给出\begin{align}
s = \phi_j: U_{ij} \to U_j\\
t = \phi_i: U_{ij} \to U_i
\end{align}
包含映射\varepsilon: U_i \to U_{ii}
则给出了广群的结构。实际上，还可设置\mathcal{G}_n = \mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0} \cdots \times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_1
为n次迭代的纤维积来进一步扩展，其中\mathcal{G}_n表示n个可组合箭头的多元组。纤维积的结构映射隐含了目标映射，因为\begin{matrix}
U_{ijk} & \to & U_{ij} \\
\downarrow & & \downarrow \\
U_{ik} & \to & U_{i}
\end{matrix}
是笛卡儿图，其中到U_i的映射是目标映射。这种构造可看作是某些∞-广群的模型；此外，这种构造的另一个产物是k-上循环[\sigma] \in \check{H}^k(\mathcal{U},\underline{A})
对某个阿贝尔群之常数层可表为函数\sigma:\coprod U_{i_1\cdots i_k} \to A
给出了上同调类的明确表示。

群作用
若群G作用于集合X，则可由如下方式组成代表群作用的作用广群或变换广群：
对象是X*的元素；
*\forall x,\ y\in X，态射x\to y对应g\in G，使得gx = y；
态射的复合解释了G*的二元运算。

更明确地说，作用广群是小范畴\mathrm{ob}(C)=X、\mathrm{hom}(C)=G\times X，源映射和目标映射分别为s(g,x) = x、t(g,x) = gx。通常表示为G \ltimes X（对于右作用记为X\rtimes G）。广群中的乘法（或组合）就是(h,y)(g,x) = (hg,x)，定义条件是y=gx。

\forall x\in X，顶点群由gx=x的(g,x)组成，这只是给定作用在x处的迷向子群（这就是顶点群称为迷向子群的原因）。同样，作用广群的轨道是群作用的轨道，广群是传递的当且仅当群作用也有传递性。

另一种描述G集合的方法是函子范畴[\mathrm{Gr},\mathrm{Set}]，当中\mathrm{Gr}是1个元素的广群（范畴），同构于群G。事实上，这个范畴的每个函子F都定义了集合X=F(\mathrm{Gr});\ \forall g\in G（即对\mathrm{Gr}中的每个态射）诱导了双射F_g：X\to X。函子F的范畴结构保证了F定义了集合G上的G作用。（唯一）可表函子F：\mathrm{Gr} \to \mathrm{Set}是G的凯莱表示。事实上，这个函子与\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},-)同构，因此将\mathrm{ob}(\mathrm{Gr})送到集合\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},\mathrm{Gr})，后者的定义就是“集合”G和\mathrm{Gr}的态射g（即G的元素g）到集合G的置换F_g。由米田嵌入推导出：群G同构于G的置换群的子群\{F_g\mid g\in G\}。

有限集
考虑\mathbb{Z}/2在有限集X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}上的群作用，其将每个数取负，于是-2 \mapsto 2、1 \mapsto -1。商广群[X/G]是这个群作用的等价类集合\{[0],[1],[2]\}，[0]在其上有群作用\mathbb{Z}/2。

商簇
任何映射到GL(n)的有限群G都会在仿射空间\mathbb{A}^n上产生群作用（由于这是自同构群）。于是，商广群的形式可以是[\mathbb{A}^n/G]，有一点的稳定子G位于原点。这样的例子构成了轨形理论的基础。另一个常研究的轨形族是加权射影空间\mathbb{P}(n_1,\ldots, n_k)及其子空间，如卡拉比-丘轨形。

广群的纤维积
给定具有广群态射的广群图
:
\begin{align}
& & X \\
& & \downarrow \\
Y &\rightarrow & Z
\end{align}

其中f:X\to Z、g:Y\to Z，可组成广群X\times_ZY，其对象为三元组(x,\phi,y)，其中x \in \text{Ob}(X),\ y \in \text{Ob}(Y),\ \phi: f(x) \to g(y),\ \in Z。态射可定义为一对态射(\alpha,\beta)，其中\alpha: x \to x',\ \beta: y \to y'，使得对三元组(x,\phi,y), (x',\phi',y'),\ Z中有f(\alpha):f(x) \to f(x'),\ g(\beta):g(y) \to g(y'),\ \phi,\phi'的交换图。

同调代数
具体阿贝尔范畴中对象的二项复形
:
C_1 \overset{d}{\rightarrow}C_0

可形成广群。其对象是集合C_0，箭头是集合C_1\oplus C_0；源映射只是到C_0的映射，目标映射是对C_1与d的组合跟到C_0的映射的加法。也就是说，给定c_1 + c_0 \in C_1\oplus C_0，有
:
t(c_1 + c_0) = d(c_1) + c_0.

当然，若阿贝尔范畴是概形上的凝聚层范畴，则这种构造可用于形成广群的预层。

游戏
魔方可用群论来建模（见魔方群），也有些游戏更适合用广群建模。

数字推盘游戏的变换就是广群（不是群，因为并非所有移动都能复合）。这一广群作用作用于构型。

马蒂厄广群
马蒂厄广群是约翰·何顿·康威提出的作用于13个点的群，这样固定一个点的元素就构成了马蒂厄群M12的一个副本。

与群的关系
若广群只有一个对象，则其态射集构成群。由代数定义，这样的广群实际上就是群。 群论的许多概念都能推广到广群，用函子概念取代群同态。

每个传递/连通的广群（即如上所述，任意两对象都由至少一个态射相连）都与作用广群（如上定义）(G, X)同构。根据传递性，这个作用下只有一个轨道。

注意刚才提到的同构不唯一，也没有自然的选择。为一个传递广群选择这样的同构实际上等于选择对象x_0、群同构h:\ G(x_0)\to G、\forall x\ne x_0,\ 态射\in G:\ x_0\to x。

若广群没有传递性，则就同构于上述类型的广群的不交并，也称作其连通成分（每个连通成分可能具有不同的群G与集合X）。

用范畴论的术语来说，广群的每个连通成分都等价（但不同构）于只有1个对象的广群，即单群。因此，任何广群都等价于无关群的多重集；换句话说，对等价（而非同构），我们不需要指定集合X，而只需指定群G。例如，

*X的基本广群等价于X的每个路径连通成分的基本群的集合，但同构要指定每个成分的点集；
具有等价关系\sim的集合X*等价（作为广群）于每个等价类的平凡群的一个副本，但同构需要说明每个等价类；
具备群G的作用的集合X等价（作为广群）于作用的每个轨道的G*的一个副本，但同构需要说明每个轨道是什么集合。

即使从范畴论的角度来看，把广群坍缩为单纯的群集合也会失去一些信息，因为是不自然的。因此，当广群以其他结构出现时，保持整个广群是有帮助的；否则就必须选择一种方法，以从单群的角度看待每个G(x)，而这一选择是任意的。在拓扑学的例子中，必须连贯地选择路径（或路径的等价类），从相同路径连通成分的每个p点到每个q点。

一个更有启发性的例子是，有自同态的广群的分类并不能归结为单纯的群论考虑。这类似于有一个自同态的向量空间的分类并不平凡。

广群的态射比群的更多样：例如，有纤维化、覆盖态射、泛态射、商态射。因此，群G的子群H会产生‘’G对G中H的陪集集的作用，从而产生K到G的覆盖态射p，其中K是顶点群与H同构的广群。这样，群G的表示就可以“提升”到广群K的表示，这是获取子群H*的表现信息的有用方法。

广群范畴
对象是广群、态射是广群态射的范畴称作广群范畴，记作Grpd。

Grpd与小范畴相似，是笛卡儿闭范畴：对任意广群H,K，我们都可以构造广群\operatorname{GPD}(H,K)，其对象是态射 H \to K 、箭头是态射的自然等价。于是，若 H,K 只是群，则这些箭头就是态射的共轭。主要结果是，对任何广群 G,H,K 都有自然双射

\operatorname{Grpd}(G \times H, K) \cong \operatorname{Grpd}(G, \operatorname{GPD}(H,K)).

即使所有广群 G,H,K 都只是群，这个结果也有意义。

Grpd既是完全范畴，又是余完全范畴。

与Cat的关系
包含态射i : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{Cat}有左右伴随函子：

: \hom_{\mathbf{Grpd}}(C[C^{-1}], G) \cong \hom_{\mathbf{Cat}}(C, i(G))
: \hom_{\mathbf{Cat}}(i(G), C) \cong \hom_{\mathbf{Grpd}}(G, \mathrm{Core}(C))

当中，C[C^{-1}]表示反转每个态射的范畴局部化，\mathrm{Core}(C)表示所有同构的子范畴。

与sSet的关系
神经函子N : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{sSet}将Grpd嵌入为单纯集范畴的子范畴。广群的神经总是阚复形。

神经有左伴随
: \hom_{\mathbf{Grpd}}(\pi_1(X), G) \cong \hom_{\mathbf{sSet}}(X, N(G))
当中\pi_1(X)表示单纯集X的基本广群。

Grpd中的广群
广群范畴内部的范畴还可派生一种额外结构，即双重广群。因为Grpd是2范畴，这些对象构成了2范畴，比1范畴有额外的结构。本质上说，这些对象是具有函子s,t: \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_0
的广群\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_0，以及由恒等函子i:\mathcal{G}_0 \to\mathcal{G}_1
给出的嵌入。思考这些2广群的一种方法是其包含对象、态射与可以纵横组合的方块。例如，给定方块\begin{matrix}
\bullet & \to & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet
\end{matrix}
与\begin{matrix}
\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \to & \bullet
\end{matrix}
其中a是同一个态射，则可以垂直相连，得到图\begin{matrix}
\bullet & \to & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \to & \bullet
\end{matrix}
可将垂直箭头转置，得到另一个方块。方块的横向连接也有类似规律。

具有几何结构的广群
研究几何对象时，产生的广群通常带有拓扑，使其成为拓扑广群；一些微分结构还能将其变为李广群。最后这些对象也可根据其相关的李代数胚进行研究，这与李群和李代数之间的关系类似。

从几何产生的广群通常具有与群乘法相互作用的结构。例如，泊松几何中有辛广群的概念，后者是具有相容辛形式的李广群。同样，也可拥有具备相容黎曼度量或复流形等结构的广群。

另见
*∞-广群
*2-群
*同伦类型论

脚注
参考文献
*
Brown, Ronald, 1987, "[https://groupoids.org.uk/pdffiles/groupoidsurvey.pdf From groups to groupoids: a brief survey] ," Bull. London Math. Soc.* 19: 113–34. Reviews the history of groupoids up to 1987, starting with the work of Brandt on quadratic forms. The downloadable version updates the many references.

*
*
F. Borceux, G. Janelidze, 2001, [https://archive.today/20121223050454/http://www.cup.cam.ac.uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521803090 Galois theories.]* Cambridge Univ. Press. Shows how generalisations of Galois theory lead to Galois groupoids.

Golubitsky, M., Ian Stewart, 2006, "[https://www.ams.org/bull/2006-43-03/S0273-0979-06-01108-6/S0273-0979-06-01108-6.pdf Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism] ", Bull. Amer. Math. Soc.* 43: 305-64
*

  • Higgins, P. J., "The fundamental groupoid of a graph of groups", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145–149.
  • Higgins, P. J. and Taylor, J., "The fundamental groupoid and the homotopy crossed complex of an orbit space", in Category theory (Gummersbach, 1981), Lecture Notes in Math., Volume 962. Springer, Berlin (1982), 115–122.

Higgins, P. J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand Notes in Mathematics. Republished in Reprints in Theory and Applications of Categories*, No. 7 (2005) pp. 1–195; [http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html freely downloadable] . Substantial introduction to category theory with special emphasis on groupoids. Presents applications of groupoids in group theory, for example to a generalisation of Grushko's theorem, and in topology, e.g. fundamental groupoid.
Mackenzie, K. C. H., 2005. [https://web.archive.org/web/20050310034123/http://www.shef.ac.uk/~pm1kchm/gt.html General theory of Lie groupoids and Lie algebroids.]* Cambridge Univ. Press.
*Weinstein, Alan, "[https://www.ams.org/notices/199607/weinstein.pdf Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour through some examples.] " Also available in [http://math.berkeley.edu/~alanw/Groupoids.ps Postscript.] , Notices of the AMS, July 1996, pp. 744–752.

  • Weinstein, Alan, "[https://arxiv.org/abs/math/0208108 The Geometry of Momentum] " (2002)
  • R.T. Zivaljevic. "Groupoids in combinatorics—applications of a theory of local symmetries". In Algebraic and geometric combinatorics, volume 423 of Contemp. Math., 305–324. Amer. Math. Soc., Providence, RI (2006)

*
*

#代数结构 #范畴论 #同伦论

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。