格罗滕迪克拓扑
范畴论中，格罗滕迪克拓扑是范畴C上的一种结构，它使C中对象的表现如拓扑空间的开集一样。范畴连同格罗滕迪克拓扑的选择，统称为景（site）。 格罗滕迪克拓扑将开覆盖的概念公理化。利用格罗滕迪克拓扑提供的覆盖，就可定义范畴上的层及其上同调。亚历山大·格罗滕迪克首先运用代数几何与代数数论定义了概形的平展上同调，此后被用来定义其他上同调论，如ℓ进上同调、平坦拓扑、晶体上同调等。格罗滕迪克拓扑最常用于定义上同调论，但也有其他应用，如约翰·泰特的刚…
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共 9 篇文章
限制 (數學)
在数学中，映射的限制 f 是一个新的映射，记作 f\vert_A 或者 f {\restriction_A} ，它是通过为原来的映射 f 选择一个更小的定义域 A 来得到的。反过来，也称映射 f 是映射 f\vert_A 的扩张。 正式定义 设 f : E \to F 是一个集合 E 到集合 F 的映射。如果 A 是 E 的子集，那么称满足\forall x\in A,\quad{f|}_A(x) = f(x)的映射 {f|}_A : …
常层
数学中，拓扑空间X上与集合A相关联的常层（constant sheaf）是X上的集合层，其茎全部等于A，记作\underline{A}或A_X。值为A的常预层（constant presheaf）是为X的每个开子集赋A值的预层，其所有限制映射都是恒等映射A\to A。关联于A的常层是关联于A的常预层的层化。这个层等同于X上局部常的A-值函数的层。 有时，集合A可换成某范畴\textbf{C}中的对象A（如\textbf{C}是阿贝尔群范…
模层
数学中，赋环空间(X,\ O)上*O-模的层或O-模是层F，使得对开的U\subseteq X，F(U)是O(U)-模，F(U)\to F(V)的限制映射与O(U)\to O(V)的限制映射相容：\forall f\in O(U),\ s\in F(U)，fs的限制是f的限制乘以s的限制。 标准情况是当X是概形，O是其结构层。若O是常层\underline{\mathbf{Z}}，则O-模的层等同于阿贝尔群层（即阿贝尔层）。 若X是环R…
层 (数学)
数学中，层（sheaf，或译束、捆）是一种系统地追踪数据的工具。数据附着在拓扑空间的开集上，局部定义于开集本身。例如，数据可以是定义在开集上的连续函数环。这些数据的行为是良好的：可限制在更小的开集中，而且（直观地说）每个数据都是其组成数据之和。这样，它们是研究有局部本质的实体的全局行为的自然工具，例如开集，解析函数，流形，等等。 研究层的数学领域叫做层论（sheaf theory）。 从概念上讲，层是比较一般、抽象的数学对象，其正确定义…
层上同调
数学中，层上同调是运用同调代数分析拓扑空间上层的全局截面的领域。广义地说，层上同调描述了几何问题能在局部解决时，全局解决问题遇到的障碍。层上同调的核心著作是亚历山大·格罗滕迪克1957年发表在《东北数学杂志》上的论文。 层、层上同调与谱序列是让·勒雷在奥地利战俘营Oflag XVII-A中提出的。勒雷在1940年到1945年与其他人在集中营组织了“狱中大学”。 1950年代，勒雷的定义得到了简化与澄清。很明显，层上同调不仅是代数拓扑中一…
可逆层
在代数几何学中, 可逆层是在赋环空间X上的一个凝聚层S，使得 S关于OX-模上的张量积存在一个逆元素T。这是拓扑意义上的线丛在代数几何学中的类比。 可逆层也被等价定义为秩为1的局部自由层。可逆层在研究代数簇时起到了重要的作用。 定义 可逆层被定义为在赋环空间(X,\mathcal{O}_X)上的一个凝聚层S，使得 S关于OX-模上的张量积存在一个逆元素T 。这相当于说，我们有 :S \otimes T\ \cong \mathcal{O…
芽 (数学)
数学上，一个芽（germ），或称芽胚，是从一个拓扑空间到另一个拓扑空间的连续函数的一个等价类（例如从实直线到自身），其中定义域中的一个点x0被特别选出。两个函数f和g是等价的，当且仅当存在一个x0的开邻域U，使得对所有x ∈ U,等式f(x) = g(x)成立。所有f在点x0的局部性质仅依赖于f属于哪一个芽。 当空间是黎曼曲面时，芽可以视为幂级数，因而芽的集合可以视为解析函数的解析开拓（analytical continuation）。…
凝聚層
在數學中，尤其是代數幾何與複流形理論裡，凝聚層是一類特別容易處理的層。凝聚層的定義指涉到一個環層（例如一個概形的結構層、複流形上的全純函數層或 D-模），此環層蘊藏了所論空間的幾何性質。相關的概念還有擬凝聚層與有限展示層。代數幾何與複解析幾何裡的許多性質與定理都以凝聚層及其上同調表述。 凝聚層可被視作向量叢截面層的推廣。它們構成的範疇在取核、上核、有限直和等操作下封閉。此外，若底空間滿足合宜的緊緻條件，則凝聚性在底空間的映射下保持不變，…