在数学中，映射的限制 f 是一个新的映射，记作 f\vert_A 或者 f {\restriction_A} ，它是通过为原来的映射 f 选择一个更小的定义域 A 来得到的。反过来，也称映射 f 是映射 f\vert_A 的扩张。

正式定义
设 f : E \to F 是一个集合 E 到集合 F 的映射。如果 A 是 E 的子集，那么称满足\forall x\in A,\quad{f|}_A(x) = f(x)的映射 {f|}_A : A \to F 是映射 f 在 A 上的限制。不正式地说， {f|}_A 是和 f 相同的映射，但只定义在 A 上。

如果将映射 f 看作一种在笛卡尔积 E \times F 上的关系 (x,f(x)) ，然后 f 在 A 上的限制可以用它的图像来表示：

: G({f|}_A) = \{ (x,f(x))\in G(f) : x\in A \} = G(f)\cap (A\times F),

其中 (x,f(x)) 表示图像 G 中的有序对。

扩张
映射 F 称为另一映射的 f 的扩张，当且仅当 F\big\vert_{\operatorname{Dom}(f)} = f 。也就是说同时满足下面两个条件：

属于 f 之定义域的 x 必然也在 F 的定义域中，即 \operatorname{Dom}(f) \subseteq \operatorname{Dom} (F) ；

f 和 F 在它们共同的定义域上的行为相同，即\forall x\in\operatorname{Dom}(f),\quad f(x) = F(x) 。

具有特定性质的扩张
数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大，并要求扩张后的结果仍具有该性质，但扩张后。如寻找一个线性映射 f 的扩张映射 F ，且 F 仍是线性的，这时说 F 是 f 的一个'，或者说；寻找一个连续映射 f 的扩张映射 F ，且 F 仍连续，则称为进行了'；诸如此类。

具有特定性质的扩张可能是唯一的，这时则不必给出扩张映射 F 的详细定义，如稠密子集到豪斯多夫空间的映射的。

例子

非单射函数 f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: \ x \mapsto x^2 在域\mathbb{R}_{+} = [0,\infty) 上的限制是f:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2 ，而这是一个单射。

将Γ函数限制在正整数集上，并将变量平移 1 ，就得到阶乘函数： {\Gamma|}_{\mathbb{Z}^+}\!(n) = (n-1)! 。

限制的性质

• 映射 f:X\rightarrow Y 在其整个定义域 X 上的限制即是原函数，即 f|_X = f 。
• 对一个映射在限制两次与限制一次效果相同，只要最终的定义域一样。也就是说，若 A \subseteq B \subseteq \operatorname{Dom}(f) ，则 \left(f|_B\right)|_A = f|_A 。
• 集合 X 上的恒等映射在集合 A 上的限制即是 A 到 X 的包含映射。
• 连续函数的限制是连续的。

應用
反函數
。若考虑 x^2 到非负实数的限制，则它有一个反函数，称为平方根 x 。]]

若某函數存在反函數，其映射必為單射。若映射 f 非單射，可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如：

　　f(x)=x^2

因為 x^2=(-x)^2，故非單射。但若將定義域限制到 x\geq{0} 時該映射為單射，此時有反函數

　　f^{-1}(y)=\sqrt{y}

（若限制定義域至 x\leq{0}，輸出 y 的負平方根的函數為反函數。）另外，若允許反函數為多值函数，則無需限制原函數的定義域。

粘接引理
點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

:設拓撲空間 A 的子集 X,\ Y 同時為開或閉，且滿足 A=X\cup{Y}，設 B 為拓撲空間。若映射 f:A\to{B} 到 X 及 Y 的限制都連續，則 f 也是連續的。

基於此結論，粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數，可以得到一個新的連續函數。

層
層將函數的限制推廣到其他物件的限制。

層論中，拓撲空間X的每個開集U，有另一個範疇中的物件F(U)與之對應，其中要求F滿足某些性質。最重要的性質是，若一個開集包含另一個開集，則對應的兩個物件之間有限制態射，即若V \subseteq U，則有態射\mathrm{res}_{V, U}: F(U) \to F(V)，且該些態射應仿照函數的限制，滿足下列條件：

對X的每個開集U，限制態射\mathrm{res}_{U, U}: F(U) \to F(U)為F(U)上的恆等態射。

若有三個開集W \subseteq V \subseteq U，則複合\mathrm{res}_{W, V}\circ\mathrm{res}_{V, U} = \mathrm{res}_{W, U}。

（局部性）若(U_i)為某個開集U的開覆蓋，且s, t \in F(U)滿足：對所有i，s\restriction_{U_i} = t \restriction_{U_i}，則s = t。

（黏合) 若(U_i)為某個開集U的開覆蓋，且對每個i，給定截面s_i \in F(U_i)，使得對任意兩個i, j，都有s_i, s_j在定義域重疊部分重合（即s_i \restriction_{U_i \cap U_j} = s_j \restriction_{U_i \cap U_j}），則存在截面s \in F(U)使得對所有i，s \restriction_{U_i} = s_i。

所謂拓撲空間X上的層，就是該些物件F(U)和態射\mathrm{res}_{V, U}組成的整體(F, \mathrm{res})。若僅滿足前兩項條件，則稱為預層。

引注