模层

数学中，赋环空间(X,\ O)上*O-模的层或O-模是层F，使得对开的U\subseteq X，F(U)是O(U)-模，F(U)\to F(V)的限制映射与O(U)\to O(V)的限制映射相容：\forall f\in O(U),\ s\in F(U)，fs的限制是f的限制乘以s*的限制。

标准情况是当X是概形，O是其结构层。若O是常层\underline{\mathbf{Z}}，则O-模的层等同于阿贝尔群层（即阿贝尔层）。

若X是环R的主谱，则R-模会自然地确定一个O_X-模，称作相关层。相似地，若R是分次环，X是R的射影构造，则分次模会自然地确定一个O_X-模。这样产生的O_X-模是准凝聚层的例子，事实上在仿射与射影概形上，所有准凝聚层都可这样生成。

赋环空间上的模层形成阿贝尔范畴。而且这范畴有足内射（enough injective），因此定义了层上同调\operatorname{H}^i(X, -)，为全局截面函子\Gamma(X, -)的第i右导出函子。

例子
给定赋环空间(X,\ O)，若F是O的O-子模，则称之为O*的理想层，因为对开的U\subseteq X，F(U)是环O(U)的理想。
设X为n维光滑簇，则X的切层是余切层\Omega_X的对偶，规范层\omega_X是\Omega_X的n*次外幂。
*代数层是模层，也是环层。

运算
设(X,\ O)为赋环空间。若F和G都是O-模，则它们的张量积
:F \otimes_O G or F \otimes G,
也是O-模，与预层U \mapsto F(U) \otimes_{O(U)} G(U)相关联（计算O(1) \otimes O(-1) = O的全局截面，其中O(1)是射影空间上的塞尔扭曲层，如此可知层化是不可避免的）。

同样，若F、G都是O-模，则
:\mathcal{H}om_O(F, G)
表示作为层U \mapsto \operatorname{Hom}_{O|_U}(F|_U, G|_U)的O-模。特别地，O-模
:\mathcal{H}om_O(F, O)
称作F的对偶模，记作\check F。注意：对任意O-模E、F，都有规范同态
:\check{E} \otimes F \to \mathcal{H}om_O(E, F),
若E是秩有限的局部自由层，则就是同构。特别地，若L局部自由且秩为1（称这样的L是可逆层或线丛 ），则有
:\check{L} \otimes L \simeq O,
这意味着可逆层的同构类构成群，称作X的皮卡第群，规范等同于第一上同调群\operatorname{H}^1(X, \mathcal{O}^*)（由标准的切赫上同调论证）。

若E是秩有限的局部自由层，则有配对给出的O-线性映射\check{E} \otimes E \simeq \operatorname{End}_O(E) \to O，称作E的迹映射。

对任意O-模F，其张量代数、外代数和对称代数的定义方式类似。例如，k次外幂
:\bigwedge^k F
是与预层U \mapsto \bigwedge^k_{O(U)} F(U)相关联的层。若F是秩为n的局部自由层，则\bigwedge^n F称作F的行列式（determinant）线丛（严格说是可逆层），记作{\rm det}(F)。有自然的完美配对：
:\bigwedge^r F \otimes \bigwedge^{n-r} F \to \det(F).

设f(X,\ O)\to(X',\ O')是赋环空间之间的态射。若F是O-模，则直像层f_ F通过自然映射O'\to f_ O是O-模（这样的自然映射是赋环空间态射数据的一部分）。

若G是O-模，则G的模逆像f^ G是作为模的张量积的O*-模：
:f^{-1} G \otimes_{f^{-1} O'} O
其中f^{-1} G是G的逆像层，f^{-1} O' \to O由伴随从O' \to f_* O得到。

f_和f^之间有伴随关系：对任意O-模F、O-模G，
:\operatorname{Hom}_{O}(f^ G, F) \simeq \operatorname{Hom}_{O'}(G, f_F)
是阿贝尔群。还有射影公式：对O-模F、秩有限的局部自由O-模E，
:f_(F \otimes f^E) \simeq f_* F \otimes E.

性质
令(X,\ O)是赋环空间。O-模F，若有O-模的满射：
:\bigoplus_{i \in I} O \to F \to 0.
则称F是由全局截面生成的。明确地说，这意味着存在F的全局截面s_i使得s_i在每个茎F_x中的像生成了作为O_X-模的F_x。

代数几何中，R-模M（R是任意交换环）与环的谱{\rm Spec}(R)相关联，就是这种层的一个例子。

另一个例子：据嘉当定理A，施坦流形上的凝聚层都是由全局截面张成的（参下列塞尔定理A）。在概形论中，一个相关概念是充足线丛（ample line buldle，例如若L是充足线丛，那么它的某个幂是由全局截面生成的）。

内射O-模是弛的（flasque，即所有限制映射F(U)\to F(V)都是满射）。由于弛层在阿贝尔层范畴中是非周期性的，所以O-模范畴中的全局截面函子\Gamma(X, -)的第i右导出函子与通常的阿贝尔层范畴中的第i层上同调相重合。

与模相关联的层
令M是环A上的模。置X=\operatorname{Spec}(A) and write D(f) = \{ f \ne 0 \} = \operatorname{Spec}(A[f^{-1}])。对每对D(f) \subseteq D(g)，根据局部化的泛性质，有自然映射
:\rho_{g, f}: M[g^{-1}] \to M[f^{-1}]
有性质\rho_{g, f} = \rho_{g, h} \circ \rho_{h, f}。则
:D(f) \mapsto M[f^{-1}]
是对象为集合D(f)、态射为集合包含的范畴，到阿贝尔群范畴的反变函子。可以证明它实际上是B-层（即其满足胶合公理），于是定义了X上的层\widetilde{M}，称作与M相关联的层。

最基本的例子是X上的结构层，即\mathcal{O}_X = \widetilde{A}。此外，\widetilde{M}具有\mathcal{O}_X = \widetilde{A}-模的结构，因此可得到A上模范畴{\rm Mod}A到\mathcal{O}_X上模范畴的正合函子M \mapsto \widetilde{M}。其定义了{\rm Mod}A到X上准凝聚层范畴的等价，其逆\Gamma(X, -)是全局截面函子。X是诺特概形时，函子是从有限生成A-模到X上凝聚层范畴的等价。

此构造有以下性质：对任意A-模M、N与任意态射\varphi:M\to N，
*M[f^{-1}]^{\sim} = \widetilde{M}|_{D(f)}.
对A*的任意素理想，\widetilde{M}_p \simeq M_p作为O_p=A_p-模。
*(M \otimes_A N)^{\sim} \simeq \widetilde{M} \otimes_{\widetilde{A}} \widetilde{N}.
若M*是有限表示模，\operatorname{Hom}_A(M, N)^{\sim} \simeq \mathcal{H}om_{\widetilde{A}}(\widetilde{M}, \widetilde{N}).特别是，取直和与~交换。
当且仅当\sim的诱导序列正合，称A*-模序列正合。特别地，(\ker(\varphi))^{\sim}=\ker(\widetilde{\varphi}), (\operatorname{coker}(\varphi))^{\sim}=\operatorname{coker}(\widetilde{\varphi}), (\operatorname{im}(\varphi))^{\sim}=\operatorname{im}(\widetilde{\varphi}).

与分次模相关联的层
上一节中的构造与等价有一个分次类似物。令R是由R_0-代数（R_0表示度为0的元素）的度为1的元素生成的分次环，M是分次R-模。令X是R的射影构造（于是若R不是诺特环，则X是射影概形），则有O-模\widetilde{M}，使得对R的度数为正的任意齐次元f，有自然同构
:\widetilde{M}|_{\{f \ne 0\}} \simeq (M[f^{-1}]_0)^{\sim}
作为仿射概形\{f \ne 0\} = \operatorname{Spec}(R[f^{-1}]_0)上的模层；实际上，这通过胶合定义了\widetilde{M}。

例子：令R(1)为分次R-模：R(1)_n=R_{n+1}，则O(1) = \widetilde{R(1)}称作塞尔扭曲层，若R次数为1、是有限生成的，则塞尔扭曲层是重言线丛的对偶。

若F是X上的O-模，则F(n) = F \otimes O(n)就有规范同态：
:\left(\bigoplus_{n \ge 0} \Gamma(X, F(n))\right)^{\sim} \to F,
当且仅当F是准凝聚层时，它是同构。

计算层上同调
层上同调以难以计算而闻名。正因如此，下面的一般事实对任何实际计算都是重要的：
{{math_theorem|令X是拓扑空间，F是其上的阿贝尔层，\mathfrak{U}是X的开覆盖，使得\forall i,\ p,\ U_{i_j}\in \mathfrak{U},\ \operatorname{H}^i(U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}, F) = 0。则对任意i，
:\operatorname{H}^i(X, F) = \operatorname{H}^{i}(C^{\bullet}(\mathfrak{U}, F))
其中右式是第i切赫上同调。}}

塞尔消失定理指出，若X是射影簇、F是其上的凝聚层，则对足够大的n，塞尔扭曲F(n)由有限多全局截面生成。此外，
*\forall i,\ H^i(X,\ F)是在R_0上有限生成的；
有取决于F*的整数n_0使得
\operatorname{H}^i(X, F(n)) = 0, \, i \ge 1, n \ge n_0.

层扩张
令(X,\ O)是赋环空间，F、H是X上O-模的层。H对F的扩张是O-模的短正合列
:0 \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 0.

与群扩张一样，若固定F、H，则H对F扩张的所有等价类构成阿贝尔群（参Baer和），其与Ext群\operatorname{Ext}_O^1(H,F)同构，当中\operatorname{Ext}_O^1(H,F)中的幺元对应平凡扩张。

H是O的情形下，有：\forall i\ge 0,
:\operatorname{H}^i(X, F) = \operatorname{Ext}_O^i(O,F),
因为两侧是同一个函子\Gamma(X, -) = \operatorname{Hom}_O(O, -)的右导出函子。

注: Hartshorne等学者不写下标O。

设X是诺特环上的射影概形。令F、G是X上的凝聚层，i是整数，则存在n_0使得
:\operatorname{Ext}_O^i(F, G(n)) = \Gamma(X, \mathcal{E}xt_O^i(F, G(n))), \, n \ge n_0.

局部自由消解
\mathcal{Ext}(\mathcal{F},\mathcal{G})对任何凝聚层\mathcal{F}都可用局部自由消解轻松计算：给定复形
:
\cdots \to \mathcal{L}_2 \to \mathcal{L}_1 \to \mathcal{L}_0 \to \mathcal{F} \to 0

则
:
\mathcal{RHom}(\mathcal{F},\mathcal{G}) = \mathcal{Hom}(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G})

于是
:\mathcal{Ext}^k(\mathcal{F},\mathcal{G}) = h^k(\mathcal{Hom}(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G}))

例子
超曲面
考虑度数为d的光滑超曲面X，则可计算消解
:\mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O}
并发现
:\mathcal{Ext}^i(\mathcal{O}_X,\mathcal{F}) = h^i(\mathcal{Hom}(\mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O}, \mathcal{F}))

光滑完全交的并
考虑概形
:X = \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[x_0,\ldots,x_n]}{(f)(g_1,g_2,g_3)} \right) \subseteq \mathbb{P}^n
其中(f,g_1,g_2,g_3)是光滑完全交，\deg(f) = d,\ \deg(g_i) = e_i。则有复形
:
\mathcal{O}(-d-e_1-e_2-e_3) \xrightarrow{\begin{bmatrix} g_3 \\ -g_2 \\ -g_1 \end{bmatrix}} \begin{matrix} \mathcal{O}(-d-e_1-e_2) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_1-e_3) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_2-e_3) \end{matrix} \xrightarrow{\begin{bmatrix} g_2 & g_3 & 0 \\ -g_1 & 0 & -g_3 \\ 0 & -g_1 & g_2 \end{bmatrix}} \begin{matrix} \mathcal{O}(-d-e_1) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_2) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_3) \end{matrix} \xrightarrow{\begin{bmatrix} fg_1 & fg_2 & fg_3 \end{bmatrix}} \mathcal{O}

消解了\mathcal{O}_X，可用于计算\mathcal{Ext}^i(\mathcal{O}_X,\mathcal{F})。

另见
*D-模
*分式理想
*全纯向量丛

注释
参考文献
*
*
*
*
*