概形（）是代數幾何學中的一個基本概念。概形是由亞歷山大在他1960年的论文《代數幾何基礎》中提出的，其中一個目的是為了解決代数几何中的一些問題，例如。建立在交換代數的基礎之上，概形理論允許使用拓扑学、同調代數中有系統的方法。概形理論也將許多代數幾何和數論的問題統一，這也使得懷爾斯得以證明费马最后定理。
定義
給定一個局部賦環空間(X, \mathcal{O}_X)，如果對X的一個開集V，(V, \mathcal{O}_X|_V)是仿射概形，稱V爲仿射開集。
一個局部賦環空間(X, \mathcal{O}_X)稱爲概形，如果X的每一點x都有仿射開邻域，即包含x的仿射開集。
直觀上說，概形是由仿射概形粘起來得到的，正如流形是由歐幾里得空間粘起來得到的。
兩個概形之間的態射就是它們作爲局部賦環空間的態射。
概形範疇
全體概形構成範疇，其態射取為局部賦環空間之間的態射（另見）。給定概形Y，所謂Y之上的概形X（又稱Y-概形）即是概形間的態射X \to Y。交換環R上的概形X即是態射X \to \operatorname{Spec}(R)。
域k上的代數簇可定義為k上的滿足特定條件的概形，但對於具體何種概形可稱為簇，有不同約定，其中一種定義為k之上的整、分離概形。
態射f: X \to Y確定了正則函數環上的拉回同態f^* : \mathcal O(Y) \to \mathcal O(X)。對於仿射概形，此構造給出概形態射\operatorname{Spec}(A) \to \operatorname{Spec}(B)與環同態B \to A之間的一一對應。此意義下，概形論包含了交換環論的全部內容。
由於\mathbb Z是的始对象，概形範疇對應以\operatorname{Spec}(\mathbb Z)為終對象。對於交換環R上的概形X，所謂X的R值點即是態射X \to \operatorname{Spec}(R)的，全體R值點的集合記作X(R)，其對應的古典概念是定義X的方程組在R中的解集。若R實為域k，則X(k)亦稱為X的k-集。
推而廣之，設有交換環R，其上有概形X和交換代數S，則X的S值點定義為R之上的態射\operatorname{Spec}(S)\to X（該態射需要與射向\operatorname{Spec}(R)的態射組成交換圖表），S值點的集合記作X(S)。（類比到方程組的情況，相當於將某個域k擴張成E，再考慮E中的解集。）固定R及其上的概形X時，映射S \mapsto X(S)為自交換R代數範疇至集合範疇的函子。R上的概形X可從此確定。
總存在：對任意兩態射X \to Y, Z \to Y，皆可在概形範疇內找到纖維積X \times_Y Z（即範疇學拉回）。若X, Z為域k上的概形，則兩者在\operatorname{Spec}(k)上的纖維積可以視為k-概形範疇中的積，例如仿射空間\mathbb A^m與\mathbb A^n在k上之積正是\mathbb A^{m+n}。
由於概形範疇既有纖維積，又有終對象\operatorname{Spec}(\mathbb Z)，其有齊全部有限极限。
歷史
概形的概念是由亞歷山大·格羅滕迪克在20世紀50年代引入的。一開始稱為“預概形”（法語：，英語：），1967年左右改稱現名。
概形的中文名稱源自日文“概型”。
例
*仿射概形的開子集不一定仿射，因此需要考慮（非仿射的）一般概形。例如，設X = \mathbb A^n \setminus \{ 0\}（基域取複域\mathbb C為例），則當n \ge 2時，X不為仿射。（但對於 n = 1的情況，仿射直線挖去原點，同構於仿射概形\operatorname{Spec} \mathbb C[x, x^{-1}]。）欲證X非仿射，可以證出當 n \ge 2時，X上的每個正則映射，皆可延拓至\mathbb A^n上。（對正則映射較易證明；對解析函數，則是複分析的）。換言之，嵌入f: X \to \mathbb A^n導出自\mathcal O(\mathbb A^n) = \mathbb C [x_1, \ldots, x_n]至\mathcal O(X)的環同構。假若X仿射，將由此得出f本身亦為同構，但f不為滿射，矛盾。因此，概形X不為仿射。
- 設k為域，則可數積\prod_{n=1}^\infty k的譜\operatorname{Spec}\left(\prod_{n=1}^\infty k\right)為仿射概形，底下的拓撲空間為正整數集（離散）的斯通-切赫緊化，因為質理想與正整數集上的超滤子一一對應：超濾子\mathcal F對應質理想
\quad I = \{x \in \prod_{n=1}^\infty k : \{n \in \mathbb Z^+ : x_n = 0\} \in \mathcal F\},
特別地，正整數n對應的主超濾子，對應的質理想是\{x: x_n = 0\}。本例仿射概形為零維空間，故而每點自成一個。由於仿射概形皆擬緊，本例是擬緊但具有無窮多個既約分支的概形。（則與之相對，衹有有限多個既約分支。）
參考文獻
*
*
*
參見
- 《代數幾何基礎》
评论 (0)