在數學中，隱式方程（）是形同f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0的關係，其中f是多元函數。比如單位圓的隱式方程是x^2+y^2-1=0。

隱函数（）是由隱式方程間接定義的函數，比如 y=\sqrt{1-x^2} 是由 x^2+y^2-1=0 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如y=\cos(x)。

隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。

例子
反函数
隐函数的一个常见类型是反函数。若 f是一个函数，那么 f的反函数记作 f^{-1}, 是给出下面方程解的函数

:x=f(y)

用x表示y。这个解是

: y = f^{-1}(x).

直观地，通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于y的解

:R(x,y) = x-f(y) = 0. \,

例子

对数函数 \ln x 给出方程x-e^y=0或等价的x=e^y的解y=\ln x。 这里f(y)=e^y并且f^{-1}(x)=\ln x 。

朗伯W函數則可以解出x-ye^y=0的y值。

代数函数
一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如，单变量 x 的代数函数给出一个方程中 y 的解。

:a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0 \,

其中係數 a_i(x) 為 x 的多項式函數。

代數函數在數學分析和代数几何中扮演重要角色，我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例：

:x^2+y^2-1=0. \,

那麼 y 的顯函數解顯然是：

:y=\pm\sqrt{1-x^2} \,

但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來，它也可以直接利用隱函數來表達。

對於y的二次、三次和四次方程，可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解，但這并不适用于包括五次在内的更高次数的方程（參見阿贝尔-鲁菲尼定理），例如：

: y^5 + 2y^4 -7y^3 + 3y^2 -6y - x = 0. \,

但是，我们仍然可以以隐函数y=g(x)的方式来表达。

隱函數的导数
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：
方法一
*把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
示例
把一元隐函数y=g(x)看作二元函数f(x,y)=0，若欲求\frac {dy}{dx}，對f取全微分，可得df(x,y)=f_xdx+f_ydy=0，經過移項可得\frac {dy}{dx} = -\frac{f_x}{f_y}

（式中f_x表示f(x,y)關於x的偏导数\frac {\partial f}{\partial x}，以此類推）。

把2元隐函数y=g(x,z)看作3元函数f(x,y,z)=0，若欲求\frac {\partial y}{\partial x}，對f取全微分，可得df(x,y,z)=f_xdx+f_ydy+f_zdz=0 。

由於所求為\frac {\partial g(x,z)}{\partial x}，令z為常數，即dz=0，經過移項可得\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{f_x}{f_y}

方法二
*針對1元隱函數，把y看作x的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对x求导，再通过移项求得\frac {dy}{dx}的值。
*針對2元隱函數，把y,z看作x的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对x求导，令dz=0，再通过移项求得\frac {\partial y}{\partial x}的值。
示例
*針對y^n：

\frac{d}{dx}y^n = n \cdot y^{n-1}\frac{dy}{dx}

*針對x^m y^n：

\frac{d}{dx}x^m y^n = n \cdot x^m y^{n-1}\frac{dy}{dx} + m \cdot x^{m-1} y^n

*求\ 12x^7-7x^4 y^3+6xy^5-14y^6+25=10中y對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分，各項都以不同顏色分開（常數則以黑色表示）。

{\color{Blue}12x^7}{\color{Red}-7x^4 y^3}{\color{Green}+6xy^5}{\color{Brown}-14y^6}+25=10

1.兩邊皆取其相應的導數，得出

{\color{Blue}12\cdot7x^6}{\color{Red}-7\left(3x^4 y^2\frac{dy}{dx} + 4x^3 y^3 \right)}{\color{Green}+6\left(5xy^4\frac{dy}{dx} + y^5\right)}{\color{Brown}-14\cdot 6y^5\frac{dy}{dx}}+0=0

2.移項處理。

{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}={\color{Red}21x^4 y^2\frac{dy}{dx}}{\color{Green}- 30xy^4\frac{dy}{dx}}{\color{Brown}+84y^5\frac{dy}{dx}}

3.提出導數因子。

{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}=\left({\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5} \right)\left( \frac{dy}{dx} \right)

4.移項處理。

\frac{dy}{dx} = \frac{{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}}{{\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5}}

5.完成。得出其導數為\frac{84x^6 - 28x^3 y^3 + 6y^5}{21x^4 y^2 - 30xy^4 + 84y^5}。

6.選擇性步驟：因式分解。

\frac{dy}{dx} = \frac{2\left(42x^6 - 14x^3 y^3 + 3y^5 \right)}{3y^2\left(7x^4 - 10xy^2 + 28y^3\right)}

參見
*反函數