體積積分

数学（特別是多元微积分）裡的體積積分（∭），也稱為體積分，是在三維空間下的积分，是一種多重积分。體積積分在物理学上的許多應用都很重要，例如用通量密度計算通量，或是從密度函數計算質量。

座標系
多半會用微分體積元素 dV=dx\, dy\, dz 來說明體積積分。
\iiint_D f(x,y,z)\,dV.
體積積分也是函数 f(x,y,z)在區域D \subset \R^3裡的多重积分，常常寫成下式：
\iiint_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.
若在圓柱坐標系，體積積分如下
\iiint_D f(\rho,\varphi,z) \rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,
若在球坐標系（使用ISO的標示法，角度\varphi為方位角，\theta是相對極軸的角度），體積積分如下
\iiint_D f(r,\theta,\varphi) r^2 \sin\theta \,dr \,d\theta\, d\varphi .
利用雅可比矩阵，可以將三重積分從卡氏座標系轉換到任意座標系。假設有 (x,y,z)\mapsto(u,v,w) 的變換。可以將體積積分表示如下
\iiint_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint_D f(u,v,w)\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|\,du\,dv\,dw
定義雅可比行列式如下

\mathbf{J}=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial x}{\partial w}\\
\frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial w}\\
\frac{\partial z}{\partial u}& \frac{\partial z}{\partial v}& \frac{\partial z}{\partial w}\\
\end{vmatrix}

相關條目
*高斯散度定理
*曲面积分
*體積元素
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外部連結
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