变分法是数学分析中的一个分支，它通过研究函数与泛函的微小变分，来求解泛函的极大值与极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在純粹數學中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为普拉托问题。
历史
变分法可能是从约翰·伯努利（1696）提出最速曲线（brachistochrone curve）问题开始出现的。它立即引起了雅各布·伯努利和洛必达（Marquis de l'Hôpital）的注意。但欧拉首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年，他的《变分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了这门科学这个名字。欧拉对这个理论的贡献非常大。
勒让德（1786）确定了一种方法，但在对极大和极小的区别不完全令人满意。牛顿和莱布尼茨也是在早期关注这一学科，对于这两者的区别Vincenzo Brunacci（1810）、高斯（1829）、泊松（1831）、Mikhail Ostrogradsky（1834）、和雅可比（1837）都曾做出过贡献。Sarrus（1842）的由柯西（1844）浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。Strauch（1849）、Jellett（1850）、Otto Hesse（1857）、Alfred Clebsch（1858）、和Carll（1885）写了一些其他有价值的论文和研究报告，但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的著名教材是划时代的，并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900年希尔伯特发表的23个问题中的第20和23个问题促进了其更深远的发展。
在20世纪希尔伯特、埃米·诺特、列奧尼達·托內利、昂利·勒貝格和雅克·阿达马等人做出重要贡献。Marston Morse将变分法应用在莫尔斯理论中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法最优控制理论发展了新的数学工具。
欧拉-拉格朗日方程
在理想情形下，一函數的极大值及极小值會出現在其導數為0的地方。同樣地，求解變分問題時也可以先求解相關的欧拉-拉格朗日方程。以下以尋找連接平面上兩點(x_1, y_1)和(x_2, y_2)最短曲線的例子，說明求解的過程。曲線的長度為
: A[f] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, dx
其中
: f'(x) = \frac{df}{dx}, \, f(x_1)=y_1, \, f(x_2)=y_2 \,。
函數f至少需為一階可微的函數。若f_0是一個局部最小值，而f_1是一個在端點 x_1及 x_2取值为零并且至少有一階導數的函數，則可得到以下的式子
:A[f_0] \le A[f_0 + \epsilon f_1]
其中 \epsilon 為任意接近0的數字。
因此A[f_0 + \epsilon f_1]對\epsilon的導數（A的一階導數）在\epsilon=0時必為0：
\frac{d}{d\epsilon} \int_{x_1}^{x_2} \left. \sqrt{1 + [ f_0'(x) + \epsilon f_1'(x)]^2} dx \right|_{\epsilon =0} = \int_{x_1}^{x_2} \left. \frac{(f_0'(x) + \epsilon f_1'(x)) f_1'(x)}{\sqrt{1 + [ f_0'(x) + \epsilon f_1'(x)]^2}}\right|_{\epsilon =0} dx = \int_{x_1}^{x_2} \frac{ f_0'(x)f_1'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}}\,dx = 0
此條件可視為在可微分函數的空間中，A[f_0]在各方向的導數均為0。若假設f_0二階可微（或至少弱微分存在），則利用分部積分法可得
: \int_{x_1}^{x_2} f_1 (x) \frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] \, dx =0,
其中f_1為在兩端點皆為0的任意二階可微函數。這是變分法基本引理的一個特例：
: I =\int_{x_1}^{x_2} f_1 (x) H (x) dx =0，
其中f_1為在兩端點皆為0的任意可微函數。
若存在x = \hat x使H (x) > 0，則在\hat x周圍有一區間的H也是正值。可以選擇f_1在此區間外為0，在此區間內為非負值，因此I >0，和前提不合。若存在x = \hat x使H (x) ，也可證得類似的結果。因此可得到以下的結論：
: \frac{d}{dx}\left[ \frac{ f_0'(x) } {\sqrt{1 + [ f_0'(x) ]^2}} \right] =0，
由結論可推得下式：
:\frac{d^2 f_0}{dx^2}=0，
因此兩點間最短曲線為一直線。
在一般情形下，則需考慮以下的計算式
: A[f] = \int_{x_1}^{x_2} L(x,f,f') dx，
其中f需有二階連續的導函數。在這種情形下，拉格朗日量L在極值f_0处滿足欧拉-拉格朗日方程
: -\frac{d}{dx} \frac{\part L}{\part f'} + \frac{\part L}{\part f}=0，
不過在此處，欧拉-拉格朗日方程只是有極值的必要條件，並不是充分條件。
費馬原理
費馬原理指出：光會沿着兩端點之間所需光程最短的路徑前進。假設 y=f (x)為光的路徑，則光程可以下式表示：
: A[f] = \int_{x=x_0}^{x_1} n(x,f(x)) \sqrt{1 + f'(x)^2} dx，
其中折射率 n(x,y)依材料特性而定。
若選擇 f (x) = f_0 (x) + \epsilon f_1 (x)，則A的一階導數（A對 \epsilon 的微分）為：
: \delta A[f_0,f_1] = \int_{x=x_0}^{x_1} \left[ \frac{ n(x,f_0)f_0'(x)f_1'(x)}{\sqrt{1 + f_0'(x)^2}} + n_y(x,f_0) f_1\sqrt{1 + f_0'(x)^2} \right] dx，
將括號中的第一項用分部積分處理，可得歐拉-拉格朗日方程
: -\frac{d}{dx} \left[\frac{ n(x,f_0)f_0'}{\sqrt{1 + f_0'^2}} \right] + n_y(x,f_0) \sqrt{1 + f_0'(x)^2} =0。
光線的路徑可由上述的積分式而得。
斯乃爾定律
當光進入或離開透鏡面時，折射率會有不連續的變化。考慮
: n(x,y) = n_- \quad \hbox{if} \quad x，
: n(x,y) = n_+ \quad \hbox{if} \quad x>0，
其中n_-和n_+是常數。在x或x>0的區域，歐拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因為折射率在二個區域均為定值，在二個區域光都以直線前進。而在x=0的位置，f必須連續，不過f'可以不連續。在上述二個區域用分部積分的方式解歐拉-拉格朗日方程，則其變分量為
: \delta A[f_0,f_1] = f_1 (0)\left[ n_-\frac{f_0'(0_-)}{\sqrt{1 + f_0'(0_-)^2}} -n_+\frac{f_0'(0_+)}{\sqrt{1 + f_0'(0_+)^2}} \right]。
和n_-相乘的係數是入射角的正弦值，和n_+相乘的係數則是折射角的正弦值。若依照斯涅爾定律，上述二項的乘積相等，因此上述的變分量為0。因此斯涅爾定律所得的路徑也就是要求光程一階變分量為0的路徑。
費馬原理在三維下的形式
費馬原理可以用向量的形式表示：令X=(x_1,x_2,x_3)，而t為其參數，X (t)是曲線C參數化的表示，而令\dot X (t)為其法線向量。因此在曲線上的光程長為
: A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} n (X) \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} dt。
上述積分和t無關，因此也和C的參數表示方式無關。使曲線最短的歐拉-拉格朗日方程有以下的對稱形式
: \frac{d}{dt} P = \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} \nabla n，
其中
: P = \frac{n (X) \dot X}{\sqrt{\dot X \cdot \dot X} }。
依P的定義可得下式
: P \cdot P = n (X)^2。
因此上述積分可改為下式
: A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} P \cdot \dot X \, dt。
依照上式，若可以找到一個函數\psi，其梯度为P，則以上的積分A就可以由在積分端點上\psi的差求得。以上求解曲線使積分量不變的問題就和\psi的level surface有關。為了要找到滿足此條件的函數\psi，需要對控制光線傳動的波動方程式進行進一步的研究。
和波動方程的關係
應用
最优控制的理论是变分法的一个推广。
参看
*变分分析
*等周不等式
*变分原理
*費馬原理
*最小作用量原理
*
*泛函分析
*微扰法
参考
- Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
- Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
- Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
- Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960
- Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992
- Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974
- Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968
- Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962
外部链接
*[http://www.youtube.com/user/PengTitus#grid/user/C47FEEDB6F5FB460 变分法线上影音教学]by PengTitus
*[https://web.archive.org/web/20060311033849/http://www.sm.luth.se/~johanb/applmath/chap3en/index.htm Chapter III: Introduction to the calculus of variations] by Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg
*[https://web.archive.org/web/20060525200908/http://planetmath.org/encyclopedia/CalculusOfVariations.html PlanetMath.org: Calculus of variations]
*[https://mathworld.wolfram.com/CalculusofVariations.html Wolfram Research's MathWorld: Calculus of Variations]
*[https://web.archive.org/web/20170609215523/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Calculus_of_Variations Example problems] in the calculus of variations
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