变分

变分是在應用數學與變分法中泛函应对与函数中的微分使用的概念。具体可以分为泛函的变分、函数的变分等。
函数的变分
设极值曲线为\hat{y}=\hat{y}(x)，可取曲线为y=y(x)。定义\delta{y}=\hat{y}-y为y的一次变分，即函数y的增量。从而可得\delta{y'}=\hat{y}'-y'

对隐函数\varphi(x,y)=0，其一次变分即为全微分：{\delta}{\varphi} =\delta y \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}+\delta x \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}。由于x无增量，即\delta x=0，故有{\delta}{\varphi} =\delta y \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}。

泛函的变分
对泛函\underset{y}\min{J(y)}=\int_{x_0}^{x_1} F(x,y(x),y'(x)) dx，

可得J(\hat y)-J(y)=\int_{x_0}^{x_1} (\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y' )dx+O(\delta y)，其一次变分是其Taylor级数的一次项，即\delta J = \int_{x_0}^{x_1} (\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y' )dx，或直接定義一次变分為 \delta J(y, h)= \frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon = 0}\, 。

故其二次变分为其Taylor级数的二次项，即\delta^2 J= \frac{1}{2}\int_{x_0}^{x_1} (\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(\delta y)^2+\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial y'}\delta y\delta y'+\frac{\partial^2 F}{\partial y'^2}(\delta y')^2 )dx。

需要注意，与二阶微分d^2y=d(dy)不同，泛函的二次变分不是对其一次变分再取变分。
實例
計算 J(y)=\int_a^b yy' dx\,的一次變分？

\delta J(y, h)\,
= \frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon = 0}

= \frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (y + \varepsilon h)(y^\prime + \varepsilon h^\prime) \ dx\left.\right|_{\varepsilon = 0}

= \frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\left.\right|_{\varepsilon = 0}

= \int_a^b \frac{d}{d\varepsilon} (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\left.\right|_{\varepsilon = 0}

= \int_a^b (yh^\prime + y^\prime h + 2\varepsilon hh^\prime) \ dx\left.\right|_{\varepsilon = 0}

= \int_a^b (yh^\prime + y^\prime h) \ dx

参见

• 泛函
• 变分法

*控制论

参考文献
脚注
外链
*[http://www.exampleproblems.com Exampleproblems.com]有更多計算泛函一次變分的實例。