狄利克雷原理

在数学中的位势论里，狄利克雷原理是关于在 \mathbb{R}^n 中的某个区域 \Omega 上的泊松方程
:\Delta u + f = 0\,
满足边界条件
:在 \partial\Omega 上 u=g \,
的解 u(x) 的刻画。原理说明，u(x) 是使得狄利克雷势能
:E[v] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla v|^2 - vf\right)\,\mathrm{d}x
最小的几乎处处二次可导，并且在边界 \partial\Omega 上满足 v=g 的函数 v（如果至少存在一个函数使得以上的积分成立的话）。这个原理得名于德国数学家勒热纳·狄利克雷。

由于以上的狄利克雷积分是下有界的，因此必然存在一个下确界。黎曼和其他的数学家都认为下确界一定能够达到，直到魏尔斯特拉斯举出了一个无法达到下确界的泛函的例子。后来希尔伯特严格证明了黎曼对狄利克雷原理的使用之正当性。

证明
以下给出 g=0 时的证明。假设 u 是使得

:E[v] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla v|^2 - vf\right)\,\mathrm{d}x
最小的并且几乎处处二次可导，并且在边界\partial\Omega上满足v=0的函数v，那么对于任意一个满足边界条件的函数 w，任意正实数\varepsilon 都有：

:E[u+\varepsilon w] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla u + \varepsilon \nabla w|^2 - uf - \varepsilon w f\right)\,\mathrm{d}x \geqslant \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla u|^2 - uf\right)\,\mathrm{d}x

即
: \int_\Omega \left(\varepsilon \nabla u \cdot \nabla w + \frac{1}{2} \varepsilon^2 | \nabla w|^2 - \varepsilon w f\right)\,\mathrm{d}x \geqslant 0

上式左侧是一个关于\varepsilon 的二次多项式，并且在 \varepsilon =0 的时候取到最小值，所以有：
: \int_\Omega \left(\nabla u \cdot \nabla w - w f\right)\,\mathrm{d}x = 0

另一方面，由于函数 w 满足边界条件，即在 \partial\Omega 上满足 w=0，因此有：
:\begin{align}
0 &= \int_{\partial\Omega} w \left( \nabla u \cdot \mathbf{n} \right)\,\mathrm{d}\sigma = \int_{\Omega} \operatorname{div} \left( w \cdot \nabla u \right)\,\mathrm{d}x \\
&= \int_{\Omega} \left( w \Delta u + \nabla u \cdot \nabla w \right)\,\mathrm{d}x = \int_{\Omega} w \left( \Delta u + f \right)\,\mathrm{d}x
\end{align}

这个结果对所有满足边界条件的函数 w 都成立，因此根据變分法基本引理，可以得到 \Delta u + f = 0

参见

• 普拉托问题
• 格林第一公式

参考来源
*
*
*