積分曲線

数学裡的積分曲線（integral curve）是表示常微分方程或方程組之解的參數方程。
名稱
積分曲線有許多不同的名稱，依微分方程或向量方程的本質不同而異。物理学中，電場或磁場的積分曲線常稱為場線（field line），流體之流速的積分曲線會稱為流線（streamline）。动力系统理论中，其統御方程的積分曲線會稱為軌跡。

定義
假設是靜態向量場，也就是在笛卡儿坐标系下的向量值函数，分量是，且是笛卡儿坐标系下的參數方程，則是的積分曲線，若這是常微分方程自治系統的解

\begin{align}
\frac{dx_1}{dt} &= F_1(x_1,\ldots,x_n) \\
&\;\, \vdots \\
\frac{dx_n}{dt} &= F_n(x_1,\ldots,x_n).
\end{align}

這類系統可以寫成單一的向量方程

\mathbf{x}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{x}(t)).

此方程指出在延著曲線任意點和曲線相切的向量，就是向量，且因此和向量場F的每一個點都相切。

若向量場利普希茨連續，則柯西-利普希茨定理指出在一小段時間，存在唯一的流。

例子
的積分曲線，對應微分方程.]]
若微分方程是向量場或是斜率场，則其對應的積分曲線會在每一點上和場相切。

參考資料
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