在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和。
局部定理
设为一个完备的有限维賦範向量空間（即一个巴拿赫空间），为一个取值在上的函数：
其中为中的一个开集，是 \mathbb R中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：
如果关于连续，并在中满足利普希茨条件，也就是说，
那么对于任一给定的初始条件： x(t_0) = x_0，其中 t_0 \in I、x_0 \in U，微分方程（1）存在一个解 (J,x(t))，其中 J \subset I 是一个包含 t_0 的区间，x(t) 是一个从 J 射到 U 的函数，满足初始条件和微分方程（1）。
局部唯一性：在包含点t_0的足够小的J区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。
这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（x(t_0) = x_0）时，下一刻的情况是唯一确定的。
局部定理的证明
一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列y_{n+1} = \Phi (y_n)，使得 \Phi^\prime (y_n) = f(y_n,t)，这样，如果这个序列有一个收敛点 y ，那么y为函数\Phi的不动点，这时就有 y^\prime = \Phi^\prime (y) = f(y,t)，于是我们构造出了一个解y。为此，我们从常数函数
:y_0(t)=x_0 \ 开始。令
:\Phi(y_i)(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f(y_{i}(s),s)\,ds.
这样构造出来的函数列(y_i)_{i \ge 0}中的每个函数都满足初始条件。并且由于 f 在 U 中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候，\Phi成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于\Phi的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。
由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。
最大解定理
局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解\ (J,x(t))、(J^\prime ,x^\prime(t))，定义一个序关系：\ (J,x(t))小于(J^\prime ,x^\prime(t))当且仅当 J \subset J^\prime ，并且x^\prime(t)在\ J上的值与\ x(t)一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。
证明思路
解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。
解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。
扩展至高阶常微分方程
对于一元的高阶常微分方程
:F \left( t,y(t),y^\prime (t) \cdots y^{(n-1)}(t) \right) =y^{(n)}(t) \qquad \qquad (2)，
只需构造向量Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots,\ y^{(n-1)}(t))和相应的映射\ \Phi，就可以使得（2）变为Y^\prime (t) = \Phi(Y(t),t)。这时的初始条件为Y(t_0)=Y_0，即
\begin{matrix} y(t_0)=y_0 \\
y^\prime (t_0)=y_1 \\
\vdots \\
y^{(n-1)}(t_0)=y_{n-1}
\end{matrix}
扩展至偏微分方程
对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。
参见
*常微分方程
*柯西-克瓦列夫斯基定理
*动力系统
*初值問題
*利普希茨条件
*弗罗贝尼乌斯定理
*皮亚诺存在性定理
参考资料
*[http://www.hike.com.cn/down/jpkc/fangceng2/3.1.doc 常微分方程（组）基本理论]
- M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 网上版本可在 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table 找到（文中林德勒夫讨论扩展了皮卡的一个早期证明）
相关链接
*[http://www.math.byu.edu/~grant/courses/m634/f99/lec4.pdf 局部柯西-利普希茨定理的另一个证明，英文]
*[http://www.math.hbnu.edu.cn/changweifenfangcheng/chapter2.doc 湖北师范学院数学与统计学院，比较严格的讨论，中文]
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