特徵方程式

特徵方程式（characteristic equation）或輔助方程式（auxiliary equation）或遞迴關係式的代數方程式。只有線性齊次常系數的微分方程或差分方程才有特徵方程式。考慮一微分方程，其因变量為 y，a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0為常数
:a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}y' + a_{0}y = 0,
其特徵方程式如下
:a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_{1}r + a_{0} = 0
根據其解 r_1, r_2, \cdots, r_n可以產生微分方程的通解。而一個線性差分方程

:y_{t+n}=b_1y_{t+n-1} + \cdots + b_ny_{t}

也有其特徵方程式

:r^n - b_1r^{n-1} - \cdots - b_n =0,

特徵方程式的根也可以提供動態方程的特性資訊。若是一個自變數為時間的微分方程，其應變數稳定的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程，穩定的充份必要條件是每一個根的绝对值都小於1。針對這兩種系統，若是有复数根，表示其解會振盪。

線性常係數常微分方程的积分求解法是由萊昂哈德·歐拉發現，他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程」有關。因此，若特徵方程有相異實根 r_1, \cdots, r_n，則通解為
: y_\mathrm{D}(x) = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x} + \cdots + c_n e^{r_n x} 。

重根實根
若特徵方程式中有重複 k 次的根 r_1，可以確定 y_{\mathrm{p}}(x)=c_1 e^{r_1 x} 會是微分方程的解，不過這個解沒有針對其他 k-1 的根提供線性獨立的解。因為 r_1 為 k 次重根，可以將微分方程改寫為
: \left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right )^k y = 0 .
因為 y_{\mathrm{p}}(x)=c_1 e^{r_1 x} 為其中的一個解，因此可以令通解為以下的形式 y(x)=u(x)e^{r_1 x}，其中 u(x) 是待確認的函數。將 ue^{r_1 x} 代入後可得
: \left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right ) ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}\left(ue^{r_1 x}\right) - r_1 ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}(u)e^{r_1 x} + r_1 ue^{r_1 x}- r_1 ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}(u)e^{r_1 x}
其中 k=1。上述的式子應用 k 次，可以得到
: \left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right )^k ue^{r_1 x} = \frac{d^k}{dx^k}(u)e^{r_1 x} = 0
除以 e^{r_1 x} 後可得
: \frac{d^k}{dx^k}(u) = u^{(k)} = 0
上述式子若且唯若 u(x) 是 k-1 次的多項式，因此 u(x)=c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + \cdots + c_k x^{k-1}.。因為 y(x)=ue^{r_1 x}，因此通解中對應 r_1 的解會是
: y_\mathrm{R}(x) = e^{r_1 x}\left(c_1 + c_2 x + \cdots + c_k x^{k-1}\right)

複數根
若二階微分方程有共轭复数根 r_1=a+bi 及 r_2=a-bi，其對應的通解為 y(x)=c_1 e^{(a+bi)x}+c_2 e^{(a-bi)x}。利用欧拉公式（e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta），可以將通解改寫如下：
:\begin{align}
y(x) &= c_{1}e^{(a + bi)x} + c_{2}e^{(a - bi)x}\\
&= c_{1}e^{ax}(\cos bx + i \sin bx) + c_{2}e^{ax}( \cos bx - i \sin bx ) \\
&= \left(c_{1} + c_{2}\right)e^{ax} \cos bx + i(c_{1} - c_{2})e^{ax} \sin bx
\end{align}
其中 c_1 和 c_2 是係數，不過可能不是實數，而且隨初始條件而不同（因為 y(x) 是實數，c_1-c_2 需要是虛數或是零，c_1+c_2 為實數，為了要讓等號右邊為實數）

例如，若 c_1=c_2=\frac{1}{2}，可以得到特解 y_1(x)=e^{ax}\cos bx，另外，若 c_1=\frac{1}{2i} 及 c_2=-\frac{1}{2i}，可以得到另一個獨立的解 y_2(x)=e^{ax}\sin bx。利用重疊原則，有 r=a\pm bi 複根的常係數線性齊次微分方程，其通解如下：
: y_\mathrm{C}(x) = e^{ax}\left(c_{1} \cos bx +c_{2} \sin bx \right)

上述的分析也可以應用在高階微分方程，其特徵方程式中也可能有非實數的共軛根。

參考資料