有限差分法
有限差分法（finite-difference methods，FDM），是在数学中的一种微分方程数值方法，是通过有限差分來近似导數，从而寻求微分方程的近似解。 由泰勒展開式的推導 首先假設要近似函數的各級導數都有良好的性質，依照泰勒定理，可以形成以下的泰勒展開式： :f(x_0 + h) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}h + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}h^2 + \cdots + \fr…
标签：#有限差分
共 11 篇文章
均差
均差（Divided differences）是遞歸除法過程。在数值分析中，可用於計算牛頓多項式形式的多項式插值的係數。在微积分中，均差与导数一起合称差商，是对函数在一个区间内的平均变化率的测量。 均差也是一种算法，查尔斯·巴贝奇的差分机，是他在1822年发表的论文中提出的一种早期的机械计算机，在历史上意图用来计算对数表和三角函数表， 它设计在其运算中使用这个算法。 定義 給定n+1個數據點 :(x_0, y_0),\ldots,(x_…
克兰克-尼科尔森方法
克兰克－尼科尔森方法（）是一種数值分析的有限差分法，可用于数值求解热方程以及类似形式的偏微分方程。它在时间方向上是隐式的二阶方法，可以寫成隐式的龍格－庫塔法，数值稳定。该方法诞生于20世纪，由約翰·克蘭克与菲利斯·尼科爾森发展。 可以证明克兰克－尼科尔森方法对于扩散方程（以及许多其他方程）是无条件稳定。但是，如果时间步长Δ乘以熱擴散率，再除以空间步长平方Δ的值过大（根據馮諾依曼穩定性分析，以大于1/2為準），近似解中将存在虚假的振荡或衰…
遞進階乘與遞降階乘
在数学中，階乘冪（）是基于自然數数列积的一种运算，分為遞進階乘（）和遞降階乘（），或稱上升階乘和下降階乘， 定义 遞進階乘与遞降階乘有多种书写方式。 由引进的珀赫哈默尔符號（Pochhammer symbol）是常用的一种，分別為\ x^{(n)} 与 \ (x)_n 。 一种较为少见的写法将遞進階乘記作 \ (x)^+_n 。 葛立恒、高德纳与在《具体数学》一书中，則引进符號 x^{\overline{n}} 与 x^{\underl…
九點模版
数值分析中，假設有在二維空間下的方形網格，一個點的九點模版（）是指包括其周圍八個點和其自身的模版。九點模版可以用差分來近似中央點的導數，是數值微分的範例之一。九點模版常用在近似二個變數的拉普拉斯算子。 動機 若用有限差分法，將二維的拉普拉斯算子離散化，可以得到常見的五點模版，表示為以下的卷积核： D_{CD}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix…
等幂求和
等幂求和，即法烏爾哈貝爾公式（），是指求幂数相同的变数之和\sum_{i=1}^{n} x_i^m。 常见公式 三角形數： \sum^{n}_{i=1} i = \frac{n(n+1)}{2} 正方形數： \sum_{i=1}^{n} (2i - 1) = n^2 調和級數：\sum_{n=1}^k\,\frac{1}{n} \;=\; \ln k + \gamma + \varepsilon_k 一般数列的等幂和 自然数等幂和 \s…
牛顿多项式
牛頓多項式（）是數值分析中一種用於插值的多項式，以英格兰數學家暨物理學家牛頓命名。 定義 給定包含k + 1個數據點的集合(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)。 如果對於\forall i, j \in \left\{0, ..., k\right\}, i \ne j，滿足x_i \ne x_j，那麼應用牛頓插值公式所得到的牛頓插值多項式為 : N(x) := \sum_{j=0}^{k} a_{j} n_{j}(…
差分
差分，又名差分函數或差分運算，一般是指有限差分（），是数学中的一个概念，将原函数 f(x) 映射到 f(x+a)-f(x+b)。差分運算，相應於微分運算，是微积分中重要的一个概念。 定义 差分分为前向差分和逆向差分。 前向差分 函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数\ f(x)，如果在等距节点： :x_k = x_0 + kh, (k = 0,1,...,n) :\ \Delta f(x_k)=f(x_{k+1})-f(x_k) …
埃尔米特插值
不少实际的插值问题不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。 概述 埃尔米特插值是另一类插值问题，这类插值在给定的节点处，不但要求插值多项式的函数值与原函数值相同。同时还要求在节点处，插值多项式的一阶直至指定阶的导数值，也与被插函数的相应阶导数值相等，这样的插值称为埃尔米特(Hermite)插值。 Hermite插值在不同的节点，提出的插值条件个数…
無限差分法
在数学中，無限差分法（infinite-difference methods），是一种微分方程数值方法，是通过無限差分來近似导數，从而寻求微分方程的近似解。 無限差分 前項有限差分定義如下 : \Delta_hf = f(x + h) - f(x). 由此可以定義廣義有限差分如下 :\Delta_h^\muf = \sum_{k=0}^N \mu_k f(x+kh), 其中\mu = (\mu_0,\ldots,\mu_N)為對應的係數…
有限差分係數
下表列出使用有限差分法进行数值微分时，各项的系数。按计算中自变量取值方向，分为中心差分，前向差分和后向差分。 中心差分 中心差分估算一阶至高阶微分按照下式： :f^{(n)}(x) = \frac{1}{h_x^n}\sum_{i=-m}^{m} k_{i} f(x+ih) + O(h_x^p) 其中 h_x 为自变量取等距格点计算函数值时的间隔。 下表列出不同计算精度下，等间距的一阶至高阶中心差分系数。 例如，h_x^2精度的三阶导的…