埃尔米特插值

不少实际的插值问题不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。

概述
埃尔米特插值是另一类插值问题，这类插值在给定的节点处，不但要求插值多项式的函数值与原函数值相同。同时还要求在节点处，插值多项式的一阶直至指定阶的导数值，也与被插函数的相应阶导数值相等，这样的插值称为埃尔米特(Hermite)插值。 Hermite插值在不同的节点，提出的插值条件个数可以不同，若在某节点x_i，要求插值函数多项式的函数值，一阶导数值，直至m_i-1阶导数值均与被插函数的函数值相同及相应的导数值相等。我们称x_i为m_i重插值点节,因此，Hermite插值应给出两组数，一组为插值点\{x_i\}^n_{i=0}节点，另一组为相应的重数标号\{m_i\}^n_{i=0}。

若\sum_{i=0}^n m_i = N+1 ，这就说明了给出的插值条件有N+1个，为了保证插值多项式的存在唯一性，这时的Hermite插值多项式应在P_{N+1}上求得，于是可作如下定义。

定义
f为 [a, b] 上充分光滑函数，对给定的插值定节\{x_i\}^n_{i=0}，及相应的重数标号\{m_i\}^n_{i=0}，\sum_{i=0}^n m_i = N+1 时，若有H(x) \in P_{n}满足
::::::::H^l(x_i) = f(x_i) \mbox{ , } l=0,1,\ldots,m_{i-1};i=0,1,\ldots,n.

则称H(x) 为f(x)关于节点\{x_i\}^n_{i=0}及重数标号\{m_i\}^n_{i=0}的Hermite插值多项式。

二重Hermite插值多项式
常用的Hermite插值为mi=2 的情况，即给定的插值节点{xi}ni=0 均为二重节点，更具体些，f(x) \in C^2([a,b])，及插值节点{xi}ni=0，若有H_{2n+1}(x) \in P_{2n+1}
满足
::::::::H_{2n+1}(x_i)=f(x_i)

H^'_{2n+1}(x_i) = f^'(x_i) \mbox{ , } i=0,1,\ldots,n，就称H2n + 1(x)为f(x) 关于节点{xi}ni=0 的二重Hermite插值多项式。

唯一性定理
f(x)关于节点{xi}ni=0的二重Hermite插值多项式存在且唯一。

误差定理
若f \in C^{2n+2}([a,b])，则为f(x)关于[a, b]上节点{xi}ni=0的二重Hermite插值多项式误差为
::::R_{2n+1}(x) =f(x)- H_{2n+1}(x)= \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!} \ w^2_n(x)
这里
:min{x0,x1,...,xn,x}≤ξ=ξ(x)≤max{x0,x1,...,xn,x}
参考文献
*韩丹夫，吴庆标.数值计算方法.浙江：浙江大学出版社，2006.6.

• Michelle Schatzman (2002). Numerical Analysis: A Mathematical Introduction, Chapter 4. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-850279-6.
• Endre Süli and David Mayers (2003). An Introduction to Numerical Analysis, Chapter 6. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.