等幂求和

等幂求和，即法烏爾哈貝爾公式（），是指求幂数相同的变数之和\sum_{i=1}^{n} x_i^m。

常见公式
*三角形數： \sum^{n}_{i=1} i = \frac{n(n+1)}{2}
*正方形數： \sum_{i=1}^{n} (2i - 1) = n^2
*調和級數：\sum_{n=1}^k\,\frac{1}{n} \;=\; \ln k + \gamma + \varepsilon_k
一般数列的等幂和
自然数等幂和
\sum_{i=1}^{n} i^{0} =n

\sum_{i=1}^{n} i^{1} = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{1}{2}n^2 +\frac{1}{2} n

\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n

\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2} = \frac{1}{4}n^4 + \frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{4}n^2，其中B_i是伯努利数。

\displaystyle \sum_{i=1}^n i^{m+1} = \sum_{k=0}^m L_k^m \binom{n+k+1}{m+2},\left(L_k^m = \sum_{r=0}^k (-1)^r \binom{m+2}{r} (k+1-r)^{m+1}\right)

奇數等冪和與偶數等幂和
\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^{0} =n

\sum_{i=1}^{n} (2i)^{0} =n

\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^{1} =n^2

\sum_{i=1}^{n} (2i)^{1} = n(n+1)

\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^{2} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}

\sum_{i=1}^{n} (2i)^{2} = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}

\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^{3} = n^2(2n^2-1)

\sum_{i=1}^{n} (2i)^{3} = 2 \left[ n(n+1) \right]^2

多项式求和
伯努利数也通用於等差数列的等幂和。

\sum_{i=1}^n (a_1+(i-1)d)^m = \frac{1}{m+1} \sum_{i=0}^m B_i d^{i-1} {m+1\choose i}(a_{n+1}^{m+1-i}-a_1^{m+1-i})

也可以利用帕斯卡矩阵，把多项式的和写成矩阵相乘。

\sum_{k=1}^n p(k)=
\begin{pmatrix}C_n^1 & C_n^2 & \cdots & C_n^{m+1}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
C_0^0 & 0 & \cdots & 0\\
-C_1^0 & C_1^1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
(-1)^mC_m^0 & (-1)^{m-1}C_m^1 & \cdots & C_m^m\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}p(1)\\p(2)\\\vdots\\p(m+1)\end{pmatrix}
=\sum_{j=1}^{m+1} C_{n}^{j}\Delta^{j-1}p(1)

:其中\Delta p(n)=p(n+1)-p(n)

也可以将数列表达成组合数然后利用朱世杰恒等式求和。

:\sum_{i=1}^n \left(i^2-i\right)=2\sum_{i=1}^n C_i^2=2C_{n+1}^3
多项式根的等幂和
\prod_{r=1}^n (x-x_r)=\sum_{r=0}^n a_r x^r=0,s_m=\sum_{r=1}^n x_r^m
牛顿公式
s_m+a_1s_{m-1}+a_2s_{m-2}+...+a_{m-1}s_1+ma_m=0
组合公式
s_m=\sum_{r_i=0}^{\lfloor \frac{m}{i} \rfloor} \frac{m(r_1+r_2+...+r_n -1)!}{r_1!r_2!...r_n!} \prod_{i=1}^n (-a_{n-i})^{r_i}

取m=n=3
:\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=\frac{3(3-1)!}{3!}(x_1+x_2+x_3)^3+\frac{3(1+1-1)!}{1!1!}(x_1+x_2+x_3)(-x_1x_2-x_1x_3-x_2x_3)+\frac{3(1-1)!}{1!}(x_1x_2x_3)
:x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+3(x_1x_2x_3)

a_{n-m}=\sum_{r_i=0}^{\lfloor \frac{m}{i} \rfloor} \prod_{i=1}^m \frac{(-s_i)^{r_i}}{i^{r_i} r_i !}

取m=n=3
:\displaystyle -x_1x_2x_3=\frac{1}{1^3 3!}(-x_1-x_2-x_3)^3
+\frac{1}{1^1 1! 2^1 1!}(-x_1-x_2-x_3)(-x_1^2-x_2^2-x_3^2)
+\frac{1}{3^1 1!}(-x_1^3-x_2^3-x_3^3)
:\displaystyle x_1x_2x_3=\frac{1}{6}(x_1+x_2+x_3)^3-\frac{1}{2}(x_1+x_2+x_3)(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+\frac{1}{3}(x_1^3+x_2^3+x_3^3)

参见
*有形數
*斯特灵数
*隙积术
*欧拉-麦克劳林求和公式

参考资料