遞進階乘與遞降階乘

在数学中，階乘冪（）是基于自然數数列积的一种运算，分為遞進階乘（）和遞降階乘（），或稱上升階乘和下降階乘，

定义
遞進階乘与遞降階乘有多种书写方式。

由引进的珀赫哈默尔符號（Pochhammer symbol）是常用的一种，分別為\ x^{(n)} 与 \ (x)_n 。

一种较为少见的写法将遞進階乘記作 \ (x)^+_n 。

葛立恒、高德纳与在《具体数学》一书中，則引进符號 x^{\overline{n}} 与 x^{\underline{n}} 。

遞進階乘
在组合学和特殊函数理论中，遞進階乘用于表达上升自然數数列的积，定义为

:x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}

遞降階乘
在组合学中也常用遞降階乘：

:x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\frac{x!}{(x-n)!}

另外，值得一提的是遞降階乘实际上是排列 P^x_n，详见排列。

两者的关系
遞進階乘与遞降階乘，两者之间的关系为：

:x^{\overline{n}}=(x+n-1)^{\underline{n}}

它們与阶乘的关系为：

: 1^{\overline{n}}=n^{\underline{n}}=n!

擴展
零次幂
零次幂的遞進階乘与遞降階乘都定義為空積 1 :

:x^{\overline{0}}=x^{\underline{0}}=1 。

实数
運用伽玛函数，階乘冪的定義域可以扩展到实数。

遞進階乘的定义變為

:x^{\overline{n}}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)} \quad x,x+n\ne0,-1,-2,\cdots

遞降階乘则为

:x^{\underline{n}}=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)} \quad x,x+n\ne-1,-2,-3,\cdots

特性
遞進階乘与遞降階乘都能以二项式系数形式表达：

:\frac{x^{\overline{n}}}{n!} = {x+n-1 \choose n}
: \frac{x^{\underline{n}}}{n!} = {x \choose n}

于是二项式系数适用的许多性质都适用于遞進階乘与遞降階乘。

显然，遞進階乘与遞降階乘作为 n 个连续整数的积，它定能被 n 整除，即

: n|x^{\overline{n}} ；
: n|x^{\underline{n}} 。

當 n=4 ，遞進階乘与遞降階乘必定能表达为一个完全平方数减1，即

: x^{\overline{4}} = k^2-1；
: x^{\underline{4}}=k^2-1 。

遞進階乘与遞降階乘遵从一个类似二项式定理的规则:

:(a+b)^{\overline{n}} = \sum_^n {n \choose r} a^{\overline{n-r}}b^{\overline{r}}

:(a+b)^{\underline{n}} = \sum_^n {n \choose r} a^{\underline{n-r}}b^{\underline{r}}

其中系数为二项式系数。

因为遞降階乘是多项式环的基础，我们可以将遞降階乘的积表示为遞降階乘的线性组合：

:x^{\underline{m}} x^{\underline{n}} = \sum_{k=0}^{m} {m \choose k} {n \choose k} k!\, x^{\underline{m+n-k}}

等式右边的系数则为二项式系数。

一般化
階乘冪能一般化至任意函數和公差：

:[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)
:[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)

使用這個記號，原來的遞進階乘与遞降階乘便記作 [x]^{k/1} 和 [x]^{k/-1} 。

与亚微积分的關係
差分方程里常使用遞降階乘。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似，不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中，遞降階乘 x^{\underline{k}} 替代微分中的 x^k 例如：

:\Delta x^{\underline{k}} = k x^{\underline{k-1}}\,

与

: \frac{\partial}{\partial x} {x^k}= k x^{k-1}\,

这种相似性在数学中称为亚微积分。亚微积分涵盖如多项式的二项式型和谢费尔序列。

程序实现
Mathematica
\text{Pochhammer}[x,n]=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}

参考文献

外部链接
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