牛顿多项式

牛頓多項式（）是數值分析中一種用於插值的多項式，以英格兰數學家暨物理學家牛頓命名。

定義
給定包含k + 1個數據點的集合(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)。

如果對於\forall i, j \in \left\{0, ..., k\right\}, i \ne j，滿足x_i \ne x_j，那麼應用牛頓插值公式所得到的牛頓插值多項式為

: N(x) := \sum_{j=0}^{k} a_{j} n_{j}(x)

其中每個n_{j}(x)為牛頓基本多項式（或稱插值基函數），其表達式為

: n_j(x) := \prod_{i=0}^{j-1} (x - x_i)

其中j > 0，並且n_0(x) \equiv 1。

係數a_j := [y_0,\ldots,y_j]，而[y_0,\ldots,y_j]表示差商。

因此，牛頓多項式可以寫作：

: N(x) = [y_0] + y_0,y_1 + \cdots + y_0,\ldots,y_k(x-x_1)\cdots(x-x_{k-1})

参考文献
参见

• 插值
• 多項式插值
• 拉格朗日插值法