九點模版

数值分析中，假設有在二維空間下的方形網格，一個點的九點模版（）是指包括其周圍八個點和其自身的模版。九點模版可以用差分來近似中央點的導數，是數值微分的範例之一。九點模版常用在近似二個變數的拉普拉斯算子。

動機
若用有限差分法，將二維的拉普拉斯算子離散化，可以得到常見的五點模版，表示為以下的卷积核：

D_{CD}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}
效果，圓形會變成星形]]
雖然比較容易計算，計算量也比較少，但中央等化子會有不希望出現的本質性各向异性，因為此等化子沒有考慮對角的影響。若在一些要求準確的應用中，拉普拉斯運算子的效果在座標軸上較快，其他方向較慢，這本質性的各向异性會是問題，會扭曲模擬結果：

D= (1 - \gamma) \begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}

• \gamma \begin{bmatrix}1/2 & 0 & 1/2\\0 & -2 & 0\\1/2 & 0 & 1/2\end{bmatrix}

第一個是因Oono-Puri而得名，係數是γ=1/2，係數是γ=1/3。Oono-Puri是各向同性離散化的最佳解，整體誤差都縮小，而Patra-Karttunen在加入旋轉不變量的條件下，已有系統性的研究，在原點附近誤差最小。
參考資料