FTCS格式

数值分析裡的FTCS是「前向時間中心空間」（forward time-centered space）的簡稱，是求解熱傳導方程式和其他抛物偏微分方程的有限差分法，在時間上是顯式的一階方法，若用在熱傳導方程下，會條件穩定。若用在，或是更廣義的抛物偏微分方程，要加入人工的粘度才會穩定。FTCS的縮寫最早是由Patrick Roache使用。

方法說明
FTCS格式是以時間上的前向欧拉方法以及空間上的中心差分為基礎，在時間上有一階收斂性，在空間上有二階收斂性。例如，在一維下，若其偏微分方程為

:\frac{\partial u}{\partial t} = F\left(u, x, t, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)

可令u(i \,\Delta x, n\, \Delta t) = u_{i}^{n}\,，前向歐拉法如下：

:\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{\Delta t} =
F_{i}^{n}\left(u, x, t, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)

函數F需要在空間上用中心差分架構進行離散化，這是顯式方法，若u在之前時間(n)的值均已知，可以顯式計算u_{i}^{n+1}，不需求解代數方程。因為此算法是顯式的，在運算上的成本不高。

說明：一維熱傳導方程
FTCS方法常用在擴散方程，例如一維的熱傳導方程式

:\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

FTCS方法如下：

:\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i + 1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i - 1}^{n}
}{\Delta x^2}

或者，令r = \frac{\alpha\, \Delta t}{\Delta x^2}:

:u_{i}^{n + 1} = u_{i}^{n} + r \left(u_{i + 1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i - 1}^{n}
\right)

穩定性
利用冯诺依曼稳定性分析的推導，用FTCS方法一維熱傳導方程有数值稳定性，若且唯若以下條件滿足：

: \Delta t \leq \frac{\Delta x^2}{2 \alpha}.

也就是說，為了讓FTCS方法穩定，需選擇\Delta x和\Delta t 滿足上式，若是二維問題，條件如下

: \Delta t \leq \frac{1}{2 \alpha\left(\frac{1}{\Delta x^2} + \frac{1}{\Delta y^2}\right)}.

若選擇 h = \Delta x = \Delta y = \Delta z ，則穩定條件會是 \Delta t \leq h^2/(2\alpha) , \Delta t \leq h^2/(4\alpha) 和 \Delta t \leq h^2/(6\alpha) ，分別針對一維、二維和三維的問題。

FTCS法的主要缺點是若問題的擴散係數\alpha很大，符合條件的步階會很小，因此不實用。

針對双曲型偏微分方程，线性微分方程是常係數的，和熱傳導方程式（或扩散方程）不同，這兩個是抛物偏微分方程的正確選擇。
目前已知針對双曲型偏微分方程，任何的 \Delta t都會造成不穩定

相關條目
*偏微分方程
*克兰克-尼科尔森方法
*时域有限差分

參考資料