肯普納級數

肯普納級數（）是十進制寫法不含數字9的正整數的倒數和。用符號可寫成
: \sum_{\begin{smallmatrix}n=1 \\ n \text{缺 } 9\end{smallmatrix}}^\infty \frac{1}{n} _,
其中「缺9」意思是「十進制表示中，不含數字9」，下同。於1914年最早研究該級數。肯普納級數是由調和級數刪走含數字9的項所得，但肯普納級數收斂，調和級數則發散。肯普納證明，級數之和小於90。羅伯特·貝利找到高效算法，給定任意數字串為輸入，計算缺該串的正整數倒數和。此問題推廣了原本的級數求值問題。舉例，考慮所有缺數字串「42」的正整數n，其倒數和約為。又舉例，缺數字串「314159」的正整數倒數和約為。（上述數值皆四捨五入至末位。）

命名
許多文獻中，級數未有命名。MathWorld用為條目名。朱利安·哈維爾所著《伽瑪》（論歐拉-馬斯刻若尼常數）亦採用同一名稱。

收斂
肯普納對數列收斂之證明，亦是阿波斯托《數學分析》的習題。證明如下。

將級數各項按分母的位數分組。由乘法原理，缺「9」的n位正整數共有8 \times 9^{n-1}個，因為最高位有8個選擇（1至8，首位不為零），而其後n - 1位，每位有9種選擇（0至8），且各位的選擇互相獨立。任何n位數皆不小於10^{n-1}，故其倒數至多為10^{1-n}。所以，缺「9」的n位正整數之倒數，對級數的貢獻，至多是8 \times \left(\frac{9}{10}\right)^{n-1}。因此，將各組貢獻加總，全個級數至多為

:8 \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{9}{10}\right)^{n-1} = 80.

若將禁止出現的「9」換成其他非零數字，則同樣的論證仍成立。至於缺「0」的情況，缺「0」的n位正整數共有9^n個，故缺「0」正整數的倒數和至多為：

:9 \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{9}{10}\right)^{n-1} = 90.

若刪去含有某串k位子字串的項，例如忽略所有分母含子字串「42」的項，則級數同樣收斂。證明方法幾乎一樣研究恰有n個數字d（滿足0\le d \le 9）的正整數倒數和S(d, n)，此為肯普納級數的推廣，因為原級數即為S(9,0)。法喜證明，對每個d，數列S(d, n)由n = 1起取值遞減，且當n趨向無窮大時，收斂到10 \ln 10。不過，數列一般並非由n = 0起遞減，例如原級數值為S(9,0) \approx 22.921 ，比n\ge 1時任意一個S(9, n)更小。

數值方法
級數收斂得很慢。貝利

80是很粗略的上界。弗蘭克·厄文較仔細地分析後，證明級數值接近23。此後，再由貝利改進到前述的22.92067…。

貝利以s(i, j)表示缺某指定數字的所有i位正整數的j次方倒數和，然後推導出，只要有齊s(i, j+n)對所有非負整數n的值，就能遞歸計算s(i+ 1, j)。於是，祗需較少的計算，已得到原級數s(1, 1) + s(1, 2)+ \cdots 的準確估計。

參見

• 倒數和收斂

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參考文獻