]]
尾波（）是固体在划过流体（特别是液体）表面时在尾部产生的V形传播的波，例如水鸟或船舶匀速游过水体时在水面激起的后方波纹。因为由英国的开尔文男爵——物理学家威廉·汤姆森（William Thomson，1824～1907）最先对船波进行数学研究，因此也称为开尔文船波（）。
数学原理
船形物体的尾波形状和福祿數Fr有密切关系。
Fr=\frac{V}{\sqrt{gl}}
其中g为重力常数，V是船速，l是船的长度。
令船的长度l=k\cdot \frac{V^2}{g}
则Fr=\frac{1}{\sqrt{k}}.
对于长度大而速度低的轮船，Fr数小，开尔文船波主要是长波，其波前与速度矢量的夹角比较小。
而小快艇，长度小，速度高，Fr 数大，开尔文船波则以短波长的水波为主，而波前则与速度矢量成较大的夹角。
开尔文船波动研究，对于船舶的设计有重要意义，因为船舶的马力，有一部分消耗在激起船波。利用Fr数与速度成正比，与长度的平方根成反比的规律，可以利用小的模型，缩小船长M^2倍，同时缩小速度M倍，可以在实验室中模拟海上舟。
多鞍点函数积分
当船只以速度V驶过深水湖面，波形的幅度在相对于船只为静止的极坐标（\rho,\phi中在船只的速度矢量方向，\phi=0），由下列公式表示
K(\phi,\rho)=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\rho\frac{\cos(\theta+\phi)}{\cos^{2}\theta}d\theta
其中\rho=gr/V^2
\frac{1}{\rho}=\frac{V^2}{gr}是福祿數的平方Fr^2
g为重力常数l为船的长度。
上列K函数是下列多鞍点积分的正数部分：
K(\phi,\rho)=\Re(\int_{-\infty}^{\infty}\exp(i\rho f(\theta,\rho)d\theta)
其中，多鞍点积分的核函数为
f(\theta,\phi)=-\frac{\cos(\theta+\phi)}{\cos^2\theta}
此核函数是一个多鞍点函数，振荡剧烈如图
求其极点，
\frac{df(\theta,\phi)}{d\theta}=\frac{\sin(\theta+\phi)}{\cos(\theta)^2}-\frac{2\cos(\theta+\phi)\sin(\theta)}{\cos(\theta)^3}=0
解之，得
\theta_1=\arctan(\frac{(1/4)(1+\sqrt{(1-8\tan(\phi)^2))}}{\tan(\phi)})=-\arctan(\frac{(1/4)(-1+\sqrt(1-8\tan(\phi)^2))}{\tan(\phi)})
由此
\phi_1=19.47度,
\phi_2=-19.47度
这就是凯尔文船波的V型波包线的夹角，最早由凯尔文男爵发现，而且角度与船速无关.至于波纹本身则与船速矢量的夹角为
\theta=\pi-19.47=35.3°
被积分函数
f(\theta,\phi)=-\frac{cos(\theta+\phi)}{cos^2\theta}
的两个极点是：
\theta_p=arctan(\frac{(1/4)(1+\sqrt{(1-8tan(\phi)^2))}}{tan(\phi)})
\theta_m=-arctan(\frac{(1/4)(-1+\sqrt(1-8tan(\phi)^2))}{tan(\phi)})
令
f_m=f(\theta_m,\phi)=\frac{sin((1/2)\phi-(1/2)arcsin(3sin(\phi)))}{sin((1/2)\phi+(1/2)arcsin(3sin(\phi)))}
f_p=f(\theta_p,\phi)=\frac{cos((1/2)\phi+(1/2)arcsin(3sin(\phi)))}{cos(-(1/2)\phi+(1/2)arcsin(3sin(\phi)))}
fbar := 1/2*(f_p+f_m)
D2F=\frac{d^2 F(\theta,\phi)}{d\theta^2}
D2F_p=D2F(\theta_p,\phi)
D2F_m=D2F(\theta_m,\phi)
\Delta := (3/4*(f_m-f_p))^(2/3)
u=\sqrt{\frac{\Delta^{1/2}}{2}}*(\frac{1}{\sqrt{D2F_p}}+\frac{1}{\sqrt{-D2F_m}})
v=\sqrt{\frac{2}{\Delta^{1/2}}}*(\frac{1}{\sqrt{D2F_p}}-\frac{1}{\sqrt{-D2F_m}})
K(\phi,\rho)\approx 2\pi(ucos(\rhofbar)AiryAi(-\rho^(2/3)\Delta)/\rho^(1/3)+vsin(\rhofbar)AiryAi(1, -\rho^(2/3)\Delta)/\rho^(2/3))
开尔文船波的波峰，由下列两个参数方程式描述
x := Xsin(\beta)(1-(1/2)*sin(\beta)^2)
y := Xsin(\beta)^2cos(\beta)/(2*M)
参见
*机尾乱流
外部链接
*[http://dlmf.nist.gov/36.13 §36.13 Kelvin’s Ship-Wave Pattern]
腳註
参考文献
*Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010, Cambridge University Press
*Jame Lighthill Waves in Fluids, Cambridge University Press 1979
评论 (0)