雅克比zeta函數（）簡稱Z(u) ，是與橢圓積分密切相關的特殊函數。在數學定義上，是雅克比Θ函數的：
:\Theta(u)=\Theta_{4}\left(\frac{\pi u}{2K}\right)
:Z(u)=\frac{\partial}{\partial u}\ln\Theta(u) =\frac{\Theta'(u)}{\Theta(u)}
雅克比zeta函數也常寫成\operatorname{zn}(u,k)，其中的k為其模數（Modulus），在部分文獻中，亦使用參數m = k^2作為變量。
用橢圓積分表示
雅克比zeta函數可定義為第二類不完全橢圓積分與完全橢圓積分的組合，描述了局部運動與平均週期性運動之間的偏差：
:Z(\phi|m)=E(\phi|m)-\frac{E(m)}{K(m)}F(\phi|m)
其中：
:F(\phi|m)和E(\phi|m)分別為第一類與第二類不完全橢圓積分。
:K(m)和E(m)分別為第一類與第二類完全橢圓積分。
:phi是振幅，和自變數u的關係是u=F(\phi|m)。
積分定義與雅克比橢圓函數
若使用雅可比橢圓函數 dn(u,k)表示，則該函數可表達為積分形式：
:\operatorname{zn}(u,k)=Z(u)=\int_{0}^{u}\operatorname{dn}^{2}v-\frac{E}{K}dv
這在物理學中常用於描述如單擺等非線性系統的動力學，其中k反映了系統的能量狀態或運動軌跡的離心率。
相關條目
*雅可比橢圓函數
*椭圆积分
參考資料
*https://booksite.elsevier.com/samplechapters/9780123736376/Sample_Chapters/01~Front_Matter.pdf Pg.xxxiv
*
*http://mathworld.wolfram.com/JacobiZetaFunction.html
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