中的黎曼ξ函數 \xi(s) 。複平面中的點s，其色彩代表了該點的函數值；較暗的顏色表示其值接近於零，而色調表示了函數值的幅角。]]
數學中，黎曼ξ函數（）是黎曼ζ函數的變型，其定義是為了得到一個簡單的泛函方程式。此函數得名於波恩哈德·黎曼。
定義
愛德蒙·蘭道將黎曼原先小寫的ξ函數以被改為大寫的Ξ函數（另參見下方），而蘭道的小寫ξ函數則定義為：
:\xi(s) = \tfrac{1}{2} s(s-1) \pi^{-\frac{s}{2}} \Gamma\left(\tfrac{1}{2} s\right) \zeta(s)，
其中
- s\in\mathbb{C}；
- ζ(s)為黎曼ζ函數；
- Γ(s)為伽瑪函數。
蘭道的小寫ζ函數的泛函方程式（或稱）為
:\xi(1-s) = \xi(s)。
蘭道的大寫Ξ函數（loc. cit., §71）為
:\Xi(z) = \xi(\frac12+zi)
遵守泛函方程式：
:\Xi(-z) =\Xi(z)。
一如蘭道所寫（loc. cit., p. 894），Ξ函數即原先的黎曼ξ函數。
函數值
當s為偶數，亦即s = 2n，ξ(s)一般式為
:\xi(2n) = (-1)^{n+1}\frac{1}{(2n)!}B_{2n}2^{2n-1}\pi^{n}(2n^2-n)(n-1)!
其中Bn為第n個伯努利數。
例如：
:\xi(2) = {\pi ^2\over 6}
級數表示式
\frac{d}{dz} \ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right) = \sum_{n=0}^\infty \lambda_{n+1} z^n
其中
\lambda_n = \frac{1}{(n-1)!} \left. \frac{d^n}{ds^n}
\left[s^{n-1} \log \xi(s) \right] \right|_{s=1} = \sum_{\rho} \left[1-
\left(1-\frac{1}{\rho}\right)^n\right]
相關條目
- 黎曼ζ函數
參考文獻
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