内维尔Θ函数
内维尔Θ函數（Neville Theta functions）共有四个，定义如下： NevilleC(z,m)=\frac{\sqrt(2)q(m)^{1/4}(\sum_{k=0}^{\infty}(q(m)^(k(k+1))cos((1/2)(2k+1)\piz/K(m))))}{\sqrt(K(m))m^{1/4}} NevilleThetaC(z,m)=\frac{\sqrt(2\pi)q(m)^{1/4}(\sum_{k=0}…
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共 80 篇文章
库伦函数
库伦函数(Couloumb function)是下列常微分方程的解 \frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}+(1-\frac{2\eta}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2})w(\rho)=0 此方程的两个解为： F_\ell(\eta,\rho) 和 G_\ell(\eta,\rho), 以 合流超几何函数表示 :F_\ell(\eta,\rho) = \frac{2^\ell e^{-\pi\et…
Tanhc函数
Tanhc函数定义如下 tanhc(z)={\frac {\tanh \left( z \right) }{z}} ;复域虚部 {\it Im} \left( {\frac {\tanh \left( x+iy \right) }{x+iy}} \right) ;复域实部 {\it Re} \left( {\frac {\tanh \left( x+iy \right) }{x+iy}} \right) ;复域绝对值 \left| {\…
燕尾积分
燕尾积分（Swallowtail Integral）是一种三阶多鞍点积分，其定义如下:p388 P(x_1,x_2,x_3)=\int_{t=-\infty}^{\infty}exp(I(t^5+x[1]t+x[2]t^2+x[3]t^3))\,dt. 分岔 燕尾积分的分岔满足下列方程式:p781 x=3t^2(z++5t^2) y=-t(3z+10t^2) 斯托克斯曲线 燕尾积分的斯托克斯曲线（Stokes curve）满足下列方程式…
杨氏函数
杨氏函数（Young's function）是一个以Γ函数定义的特殊函数 C_{v}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}z^{v+2n}}{\Gamma(v+2n+1)} 与其他特殊函数的关系 C_{v}(z)=\frac{x^{v}}{\Gamma(v+1)}(_1F_1(1;v+1;iz)+_1F_1(1;v+1;-iz) C_{v}(z)=\frac{ a^{v}(1-\frac{a^(1/2…
韦伯函数
韦伯函数（Weber function）也称为龙梅尔-韦伯函数（Lommel-Weber function），是1879年德国物理学家海因里希·弗里德里希·韦伯（Heinrich Friedrich Weber）首先研究的函数，由下列定积分定义： : \mathbf{E}_\nu(z)=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin (\nu\theta-z\sin\theta) \,d\theta 微分方程 韦伯函数满足下…
Coshc函数
Coshc函数常见于有关光学散射、海森堡时空和双曲几何学的论文中其定义如下： : \operatorname{Coshc}(z)=\frac {\cosh(z) }{z} 它是下列微分方程的一个解： w \left( z \right) z-2\,{\frac {d}{dz}}w \left( z \right) -z{\frac {d^ {2}}{d{z}^{2}}}w \left( z \right) =0 ;复域虚部 \opera…
伯努利多項式
在數學中，伯努利多項式在對多種特殊函數特別是黎曼ζ函數和赫尔维茨ζ函数的研究中出現。作為阿佩爾序列的一種，與正交多項式不同的是，伯努利多項式的函數圖像與x軸在單位長度區間內的交點數目並不會隨著多項式次數的增加而增長。當多項式的次數趨近無窮大的時候，伯努利多項式的函數形狀類似于三角函數。 表示法 伯努利多項式 Bn 有多種表示法，可視情況選用。 代數法 當 n ≥ 0 時， :B_n(x) = \sum_{k=0}^n {n \choos…
安格尔函数
安格尔函数是英国数学家安格尔在1855年首先研究的积分函数 \mathbf{J}_\nu(z)=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (\nu\theta-z\sin\theta) \,d\theta 微分方程 安格尔函数满足下列微分方程 :z^2y^{\prime\prime} + zy^\prime +(z^2-\nu^2)y = (z-\nu)\sin(\pi z)/\pi 参考文献 C.T. Anger, …
杰克逊q贝塞尔函数
杰克逊q贝塞尔函数是英国数学家杰克逊在20世纪初创立的3个特殊函数，它们是贝塞尔函数的q模拟。定义如下 杰克逊q贝塞尔函数是通过阶乘幂和基本超几何函数定义的： : J_\nu^{(1)}(x;q) = \frac{(q^{\nu+1};q)_\infty}{(q;q)_\infty} (x/2)^\nu {}_2\phi_1(0,0;q^{\nu+1};q,-x^2/4) : J_\nu^{(2)}(x;q) = \frac{(q^{\…
礼帽函数
礼帽函数是SINC 函数在二维极坐标中的推广，形如一个礼帽，故得名。此函数在成像理论中多有应用。 礼帽函数定义如下 : \operatorname {somb} (\rho) = 2 J_1(\pi \rho) / \pi \rho. 其中 \rho = x^2 + y^2. J_1(\pi \rho)是第一类贝塞尔函数 参考文献
Q贝塞尔多项式
q-贝塞尔多项式，也称q-贝塞尔函数，其通过基本超几何函数定义： :y_{n}(x;a;q)=\;_{2}\phi_1 \left(\begin{matrix} q^{-N} & -aq^{n} \\ 0 \end{matrix} ; q,qx \right) 正交关系 \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{a^k}{(q;q)_n}q^{k+1 \choose 2}y_{m}(q^k;a;q)y_{n}(q^k;a;q)…
特殊函数的渐近展开式
特殊函数的渐近展开式 ;安格尔函数 AngerJ(3,x) \approx {\sqrt(2)cos(x+(1/4)Pi)\sqrt(1/x)/\sqrt(Pi)-(35/8)\sqrt(2)cos(x-(1/4)Pi)(1/x)^(3/2)/\sqrt(\pi)-(945/128)\sqrt(2)cos(x+(1/4)\pi)(1/x)^(5/2)/\sqrt(\pi)+O((1/x)^(7/2))} ;艾瑞函数 AiryAi(z)\…
德拜函数
德拜函数（Debye function）是彼得·德拜于1912年估算声子对固体的比热的德拜模型时创立的函数，定义如下 :D_n(x) = \frac{n}{x^n} \int_0^x \frac{t^n}{e^t - 1}\,dt. ;展开式 D_n(x) = 1 - \frac{n}{2(n+1)} x + n \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k+n)(2k)!} x^{2k}, \quad |x|…
皮尔西积分
皮尔西积分(Pearcey Integral)是一种在论述光的传播、光的衍射、分岔理論、突变理论以及关于特殊函数的渐进展开式的研究中常见的多鞍点积分，其定义为 P(x,y)=\int_{-\infty}^{\infty}\exp(I(t^4+xt^2+yt)) ={-(1/2)\sqrt(Pi)exp(-(1/4I)y^2/x)(limit(exp(It^4)erf(Ixt/\sqrt(-Ix)+(1/2I)y/\sqrt(-Ix)),…
螺旋函数
螺旋函数(Swirl function)是一个以三角函数定义的特殊函数： S(k,n,r,\theta)=sin(kcos(r)-n\theta) 其中k,n均为整数。k与螺旋叶的长度与形状有关，n为螺旋的叶片数。 对称性 ;镜像对称 S(k,n,r,\theta)与S(k,-n,r,\theta) 互为镜像对称. f(-k, n, r, \theta)=-f(k, n, r, -\theta) f(-k, n, r, \theta)=…
斐惹尔斯函数
斐惹尔斯函数（Ferrers Functions）是连带勒让德方程的实数解，分为第一类斐惹尔斯函数和第二类斐惹尔斯函数。分别定义如下 ;第一类斐惹尔斯函数 P_v^\mu(x) = (\frac{1+x}{1-x})^{\mu/2}\frac{F(v+1,-v;1-\mu;1/2-x/2)}{\Gamma(1-\mu)} ;第二类斐惹尔斯函数 Q_v^\mu(x)=(cos(\mu\pi)*(\frac{1+x}{1-x})^{\mu/…
法捷耶娃函数
法捷耶娃函数(Fadeeva function)是一种在等离子物理学中见到的特殊函数，与福格特函数有关，定义如下 :w(z):=e^{-z^2}\operatorname{erfc}(-iz) = \operatorname{erfcx}(-iz) =e^{-z^2}\left(1+\frac{2i}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{t^2}\text{d}t\right). 与福格特函数的关系 :w(x+iy)=U(x,…
坎宁安函数
坎宁安函数又称为皮尔逊-坎宁安函数（Pearson-Cunningham function)是英国数学家坎宁安在1908年首先研究的特殊函数,，定义如下： :\displaystyle \omega_{m,n}(x) = \frac{e^{-x+\pi i (m/2-n)}}{\Gamma(1+n-m/2)}U(m/2-n,1+m,x). 其中U为特里科米函数。 坎宁安在是在用多變數擴展的埃奇沃斯級數，依機率密度函數的矩來近似機率密度函…
抛物柱面函数
抛物柱面函数是满足下列微分方程的特殊函数: :\frac{d^2f}{dz^2} + \left(\tilde{a}z^2+\tilde{b}z+\tilde{c}\right)f=0. 在利用分离变数法处理在抛物柱面坐标在的拉普拉斯方程时，自然出现上列方程 通过解二次代数方程和变数代换可以将上列方程表示为两种标准形式: :\frac{d^2f}{dz^2} - \left(\tfrac14z^2+a\right)f=0 (A) 及 :…