德拜函数

德拜函数（Debye function）是彼得·德拜于1912年估算声子对固体的比热的德拜模型时创立的函数，定义如下

:D_n(x) = \frac{n}{x^n} \int_0^x \frac{t^n}{e^t - 1}\,dt.

;展开式
D_n(x) = 1 - \frac{n}{2(n+1)} x + n \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k+n)(2k)!} x^{2k}, \quad |x| 。

其中B_{2k}是伯努利数。

D_n(x)=\frac{n((-1)^nn!\zeta(n+1)+\sum_{m=0}^{n}((-1)^{n-m+1}n!x^mLi_{n-m+1}(e^{x}/m!))}{x^{n+1}}-\frac{n}{n+1}

其中Li_{m}(x)是m阶多重对数

;渐近式

For x \rightarrow 0 :
:D_n(0)=1。

For x \ll 1 : D_n:D_n(x)\propto\int_0^\infty{\rm d}t\frac{t^{n}}{\exp (t)-1} = \Gamma(n + 1) \zeta(n + 1). \quad [\Re \, n > 0]

相关函数
也有将德拜函数定义为

d_{n}(z)=\int_{0}^{x}\frac{t^n}{e^{t}-1}dt
=n!\zeta(n+1)-\frac{x^{n+1}}{n+1}+\sum_{k=0}^{n}((-1)^{k+1}(\prod_{j=0}^{k-1}((n-j)x^{n-k}Li_{k+1}(exp(x)))))

参考文献