斐惹尔斯函数

斐惹尔斯函数（Ferrers Functions）是连带勒让德方程的实数解，分为第一类斐惹尔斯函数和第二类斐惹尔斯函数。分别定义如下

;第一类斐惹尔斯函数
P_v^\mu(x) = (\frac{1+x}{1-x})^{\mu/2}*\frac{F(v+1,-v;1-\mu;1/2-x/2)}{\Gamma(1-\mu)}
;第二类斐惹尔斯函数
Q_v^\mu(x)=(cos(\mu\pi)(\frac{1+x}{1-x})^{\mu/2}\frac{)F(v+1,-v;1-\mu;1/2-2/x) } {\Gamma(1-\mu }

与其他特殊函数的关系
P_v^\mu(x)=\left( -{\frac {1+x}{-1+x}} \right) ^{1/2\,\mu}{\it HeunC} \left( 0,-
\mu,2\,v+1,0,v+1/2+{v}^{2},{\frac {-1+x}{1+x}} \right) \left(
\left( 1/2+1/2\,x \right) ^{v+1} \right) ^{-1} \left( \Gamma \left(
1-\mu \right) \right) ^{-1}

参考文献