S型函数（，或稱乙狀函數）是一種函数，因其函數圖像形状像字母S得名。其形狀曲線至少有2個焦點，也叫“二焦點曲線函數”。S型函数是有界、可微的实函数，在实数范围内均有取值，且导数恒为非负，有且只有一个拐点。S型函数和S型曲线指的是同一事物。
逻辑斯谛函数是一种常见的S型函数，其公式如下：
: S(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}}.
其级数展开为：
: s := 1/2+\frac{1}{4}t-\frac{1}{48}t^3+\frac{1}{480}t^5-\frac{17}{80640}t^7+\frac{31}{1451520}t^9-\frac{691}{319334400}t^{11}+O(t^{12})
其他S型函數案例見下。在一些學科領域，特別是人工神经网络中，S型函數通常特指邏輯斯諦函數。
常見的S型函數
*逻辑斯谛函数
:: f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}
*雙曲正切函數（等價於逻辑斯谛函数的平移與縮放）
:: f(x) = \tanh x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
*反正切函數
:: f(x) = \arctan x
*古德曼函數
:: f(x) = \operatorname{gd}(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{\cosh t} \, dt = 2\arctan\left(\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right)
*误差函数
:: f(x) = \operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \, dt
*
:: f(x) = (1+e^{-x})^{-\alpha}, \quad \alpha > 0
*
:: f(x) = \begin{cases}
\displaystyle{
\frac{\int_{0}^{x} \bigl(1 - u^2 \bigr)^N \ du}
{\int_{0}^{1} {\bigl(1 - u^2 \bigr)^N \ du}}
}, & |x| \le 1 \\
\sgn(x) & |x| \ge 1 \\
\end{cases} \, \quad N \ge 1
*一些代數函數, 例如
:: f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
所有連續非負的凸形函數的積分都是S型函數，因此許多常見概率分布的累积分布函数會是S型函數。一個常見的例子是误差函数，它是正态分布的累积分布函数。
参考文献
- . In particular see "Chapter 4: Artificial Neural Networks" (in particular pp. 96–97) where Mitchell uses the word "logistic function" and the "sigmoid function" synonymously – this function he also calls the "squashing function" – and the sigmoid (aka logistic) function is used to compress the outputs of the "neurons" in multi-layer neural nets.
- Properties of the sigmoid, including how it can shift along axes and how its domain may be transformed.
参见
- 单位阶跃函数
- 邏輯斯諦迴歸
*
- 线性整流函数
- Softmax函数
- 韦伯分布
- 费米-狄拉克统计
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