Coshc函数

Coshc函数常见于有关光学散射、海森堡时空和双曲几何学的论文中其定义如下：

: \operatorname{Coshc}(z)=\frac {\cosh(z) }{z}
它是下列微分方程的一个解：

w \left( z \right) z-2\,{\frac {d}{dz}}w \left( z \right) -z{\frac {d^
{2}}{d{z}^{2}}}w \left( z \right) =0

;复域虚部

• \operatorname{Im} \left( \frac {\cosh(x+iy) }{x+iy} \right)

;复域实部

• \operatorname{Re} \left( \frac {\cosh \left( x+iy \right) }{x+iy} \right)

;绝对值

• \left| \frac {\cosh(x+iy) }{x+iy} \right|

;一阶导数

• \frac {\sinh(z)}{z} - \frac {\cosh(z)}{z^2}

;导数实部

• -\operatorname{Re} \left( -\frac {1- (\cosh(x+iy))^2}{x+iy} +\frac{\cosh(x+iy)}{(x+iy)^2} \right)

;导数虚部
*-\operatorname{Im} \left( -\frac {1-(\cosh(x+iy))^2}{x+iy} + \frac {\cosh(x+iy)}{(x+iy)^2} \right)

;导数绝对值

• \left| -\frac{1-(\cosh(x+iy))^2}{x+iy}+\frac {\cosh(x+iy)}{(x+iy)^2} \right|

表示为其他特殊函数

• \operatorname{Coshc}(z)={\frac { \left( iz+1/2\,\pi \right)

{{\rm M}\left(1,\,2,\,i\pi -2\,z\right)}}{{{\rm e}^{1/2\,i\pi -z}}z}}

*\operatorname{Coshc}(z)=\frac{1}{2}\,{\frac { \left( 2\,iz+\pi \right) {\it HeunB} \left( 2,0,0,0,
\sqrt {2}\sqrt {1/2\,i\pi -z} \right) }{{{\rm e}^{1/2\,i\pi -z}}z}}

• \operatorname{Coshc}(z)= {\frac {-i \left( 2\,iz+\pi \right)

{{\rm \mathbf WhittakerM}\left(0,\,1/2,\,i\pi -2\,z\right)}}{ \left( 4\,iz+2\,\pi
\right) z}}

级数展开
: \operatorname{Coshc} z \approx ({z}^{-1}+{\frac {1}{2}}z+{\frac {1}{24}}{z}^{3}+{\frac {1}{720}}{z}^{5}+{\frac {1}{40320}}{z}^{7}+{\frac {1}{3628800}}{z}^{9}+{\frac {1}{
479001600}}{z}^{11}+{\frac {1}{87178291200}}{z}^{13}+O \left( {z}^{15} \right) )

图集
参见
*Tanc函数
*Tanhc函数
*Sinhc函数

参考文献