坎宁安函数

坎宁安函数又称为皮尔逊-坎宁安函数（Pearson-Cunningham function)是英国数学家坎宁安在1908年首先研究的特殊函数,，定义如下：

:\displaystyle \omega_{m,n}(x) = \frac{e^{-x+\pi i (m/2-n)}}{\Gamma(1+n-m/2)}U(m/2-n,1+m,x).

其中U为特里科米函数。

坎宁安在是在用多變數擴展的埃奇沃斯級數，依機率密度函數的矩來近似機率密度函數時用到坎宁安函数，坎宁安函数和一維或多維常係數的擴散方程有關

坎宁安函数是下列微分方程的解

: xX*+(x+1+m)X'+(n+\tfrac{1}{2}m+1)X.

与其他函数的关系
\omega_{m,n}(x) = \frac{exp(-x+(1/2I)\pim-I\pin)\Gamma(m)HeunB(-2m, 0, 2+4n, 0, \sqrt(x))}{\Gamma(1+n-(1/2)m)x^m\Gamma((1/2)m-n)}

+\frac{ exp(-x+(1/2I)Pim-I\pin)\Gamma(-m)HeunB(2m, 0, 2+4n, 0, \sqrt(x)) }{ \Gamma(1+n-(1/2)m)\Gamma(-(1/2)m-n) }

\omega_{m,n}=\frac{ WhittakerM(0, -1/2, -x+I\pi((1/2)m-n))exp(-(1/2)x+(1/2I)\pi((1/2)m-n))WhittakerW(1/2+n, (1/2)m, x)exp((1/2)x) }{ \Gamma(1+n-(1/2)m)x^{(1/2+(1/2)*m)} }

级数展开
\omega_{0.5,0.5}(x)={(1/80640)(120960\sqrt(2)\Gamma(3/4)^2\sqrt(x)-141120\sqrt(2)\Gamma(3/4)^2x^(3/2)+77616\sqrt(2)\Gamma(3/4)^2x^(5/2)-27720\sqrt(2)\Gamma(3/4)^2x^(7/2)+7315\sqrt(2)\Gamma(3/4)^2x^(9/2)+(141120I)\sqrt(2)\Gamma(3/4)^2x^(3/2)+(27720I)\sqrt(2)\Gamma(3/4)^2x^(7/2)-(100800I)\pix-(7315I)\sqrt(2)\Gamma(3/4)^2x^(9/2)-(77616I)\sqrt(2)\Gamma(3/4)^2x^(5/2)-40320\pi+(75600I)\pix^2+100800\pix+(40320I)\pi-75600\pix^2-(120960I)\sqrt(2)\Gamma(3/4)^2\sqrt(x)+32760\pix^3-(32760I)\pix^3-9945\pix^4+(9945I)\pix^4+80640\pi^(3/2)O(x^(9/2))\sqrt(x))/(\pi^(3/2)*\sqrt(x))}

腳註
参考文献
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