燕尾积分

燕尾积分（Swallowtail Integral）是一种三阶多鞍点积分，其定义如下:p388

P(x_1,x_2,x_3)=\int_{t=-\infty}^{\infty}exp(I(t^5+x[1]t+x[2]t^2+x[3]t^3))\,dt.

分岔
燕尾积分的分岔满足下列方程式:p781

x=3t^2(z++5t^2)

y=-t(3z+10t^2)

斯托克斯曲线
燕尾积分的斯托克斯曲线（Stokes curve）满足下列方程式:p783

x=B_+|y|^{4/3}

x=B_{-}|y|^{4/3}

B_{+}=10^{-1/3}(2x_{+}^{4/3}-\frac{1}{2}(x_{+}^{-2/3})

B_{-}=10^{-1/3}(2x_{-}^{4/3}-\frac{1}{2}(x_{-}^{-2/3})

其中x_{+},x_{-}是下列五阶代数方程的最小的两个解：

80x^5-40x^4-55x^3+5x^2+20x-1=0，即

x_{+}=0.49730955169723075828e-1

x_{-}=0.74104357073646523281

相關
*斯托克斯定理
*Euler–Maclaurin formula

参考文献