切比雪夫多项式

切比雪夫多项式（）是与棣莫弗定理有关，以递归定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示， 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，帕夫努季·切比雪夫提出切比雪夫微分方程：

:(1-x^2)\,y* - x\,y' + n^2\,y = 0
和
:(1-x^2)\,y* - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0

相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形。

定义
第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定

:T_0(x) = 1 \,
:T_1(x) = x \,
:T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,

也可以用母函数表示

:\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.

第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出

:U_0(x) = 1 \,
:U_1(x) = 2x \,
:U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,

此时母函数为

:\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2tx+t^2}.

从三角函数定义
第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定

:T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta) \,

其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . \cos n\theta \, 是关于 \cos\theta \, 的 n次多项式，这个事实可以这么看： \cos n\theta \,是:(\cos\theta+i\sin\theta)^n=e^{i n\theta}=\cos(n\theta)+i\sin n\theta \,的实部（参见棣莫弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含\sin\theta \,的项中，\sin\theta \,都是偶数次的，从而可以表示成 1-\cos^2\theta \,的幂 。

用显式来表示
:T_n(x) =
\begin{cases}
\cos(n\arccos(x)), & \ x \in [-1,1] \\
\cosh(n \, \mathrm{arccosh}(x)), & \ x \ge 1 \\
(-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(-x)), & \ x \le -1 \\
\end{cases}

尽管能经常碰到上面的表达式，但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有

:
\begin{matrix}
T_n(x) & = & \cos (n \arccos (x)) \\
& = & \mathrm{cosh} (n \, \mathrm{arccosh} (x))
\end{matrix}
\ , \quad \forall x \in \mathbb{R}.

类似，第二类切比雪夫多项式满足

: U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}.

以佩尔方程定义
切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程
:T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1 \,\!
在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见 [https://web.archive.org/web/20070702185523/https://cage.ugent.be/~jdemeyer/phd.pdf Demeyer (2007)], p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:
:T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i. \,\!

递归公式
两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

:T_0(x) = 1
:U_{-1}(x) = 1
:T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)
:U_n(x) = xU_{n-1}(x) + T_n(x)

证明的方式是在下列三角关系式中用\cos\vartheta 代替x

:T_{n+1}(x) = T_{n+1}(\cos\vartheta) = {} \cos((n + 1)\vartheta) = {} \cos(n\vartheta)\cos\vartheta - \sin(n\vartheta)\sin\vartheta = {} T_n(\cos\vartheta)\cos\vartheta - U_{n-1}(\cos\vartheta)\sin^2\vartheta = {} xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)

正交性
Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.

第一类切比雪夫多项式带权
:\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},

即:

:\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{
\begin{matrix}
0 &: n\ne m~~~~~\\
\pi &: n=m=0\\
\pi/2 &: n=m\ne 0
\end{matrix}
\right.

可先令x= cos(θ) 利用
Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.

类似地，第二类切比雪夫多项式带权
:\sqrt{1-x^2}

即:

:\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx =
\begin{cases}
0 &: n\ne m\\
\pi/2 &: n=m
\end{cases}

其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).

基本性质
对每个非负整数n， T_n(x) 和 U_n(x) 都为 n次多项式。
并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数， 在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。

n \ge 1时，T_n 的最高次项系数为 2^{n-1} ，n = 0时系数为1 。

最小零偏差
对n \ge 1，在所有最高次项系数为1的n次多项式中 ， f(x) = \frac1{2^{n-1}}T_n(x) 对零的偏差最小，即它是使得f(x)在[-1, 1] 上绝对值的最大值最小的多项式。
其绝对值的最大值为\frac1{2^{n-1}} ， 分别在-1 、 1 及 f 的其他 n - 1 个极值点上达到 。

两类切比雪夫多项式间的关系
两类切比雪夫多项式间还有如下关系：

:\frac{d}{dx} \, T_n(x) = n U_{n-1}(x) \mbox{ , } n=1,\ldots

:T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - \, U_{n-2}(x)).

:T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,

:T_n(x) = U_n(x) - x \, U_{n-1}(x).

切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.

切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：

:2 T_n(x) = \frac{1}{n+1}\; \frac{d}{dx} T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\; \frac{d}{dx} T_{n-1}(x) \mbox{ , }\quad n=1,2,\ldots

例子
前几个第一类切比雪夫多项式是

: T_0(x) = 1 \,

: T_1(x) = x \,

: T_2(x) = 2x^2 - 1 \,

: T_3(x) = 4x^3 - 3x \,

: T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,

: T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,

: T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,

: T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,

: T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,

: T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,

前几个第二类切比雪夫多项式是

: U_0(x) = 1 \,

: U_1(x) = 2x \,

: U_2(x) = 4x^2 - 1 \,

: U_3(x) = 8x^3 - 4x \,

: U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,

: U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,

: U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1. \,

第一类切比雪夫多项式前几阶导数是

: T_n'(1) = n^2 \,

: T_n'(-1) = - (-1)^n * n^2 \,

: T_n*(1) = (n^4 - n^2)/3 \,

: T_n(-1) = (-1)^n (n^4 - n^2)/3 \,

按切比雪夫多项式的展开式
一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：

:p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)

多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。

切比雪夫根
两类的n次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做 ，因为是多项式插值时的 插值点 . 从三角形式中可看出Tn 的n个根分别是：

: x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.

类似地， Un 的n个根分别是：

: x_i = \cos\left(\frac{i}{n+1}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.

参看
*

• 切比雪夫滤波器

参考

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.